Question

4．平面直角坐標(biāo)系中，P（2，2），以P為直角頂點(diǎn)作∠APB=90°，過(guò)P作PM⊥y軸．
（1）如圖①，試判新AM、OB、PM的關(guān)系；
（2）如圖②，試判斷AM、OB、PM的關(guān)系；
（3）如陽(yáng)③，若y軸恰好平分∠PAB，PB與y軸交于Q點(diǎn)．求證：$\frac{PM+MQ}{BO}$為定值．

Answer 1

分析 （1）過(guò)P作PH⊥x軸，交于H，則四邊形OHPM為矩形，得出OH=PM，∠HPM=∠APB=90°，由ASA證明△BHP≌△AMP，得出AM=BH=OB+OH=OB+PM即可；
（2）過(guò)P作PH⊥x軸，交于H，則四邊形OHPM為矩形，得出OH=PM，∠HPM=∠APB=90°，由ASA證明△BHP≌△AMP，得出AM=BH，即可得出結(jié)論；
（3）延長(zhǎng)AP交x軸于F，過(guò)P作PH⊥x軸，交于H，證出BO=OF，∠FPH=∠QPM，由ASA證明△PMQ≌△PHF，得出MQ=HF，即可得出結(jié)論．

解答 （1）解：過(guò)P作PH⊥x軸，交于H，如圖1所示：
∵PM⊥y軸，
∴四邊形OHPM為矩形，
∴OH=PM，∠HPM=∠APB=90°，
∴∠BPH=∠MPA，
∵P（2，2），
∴MP=PH=2，
在△BHP和△AMP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BPH=∠MPA}\\{PH=MP}\\{∠BHP=∠AMP=90°}\end{array}\right.$，
∴△BHP≌△AMP（ASA），
∴AM=BH=OB+OH=OB+PM；
（2）解：過(guò)P作PH⊥x軸，交于H，如圖2所示：
∵PM⊥y軸，
∴四邊形OHPM為矩形，
∴OH=PM，∠HPM=∠APB=90°，
∴∠BPH=∠MPA，
∵P（2，2），
∴MP=PH=2，
在△BHP和△AMP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BPH=∠MPA}\\{PH=MP}\\{∠BHP=∠AMP=90°}\end{array}\right.$，
∴△BHP≌△AMP（ASA），
∴AM=BH，
∴PM=OB+BH=OB+AM；
（3）證明：延長(zhǎng)AP交x軸于F，過(guò)P作PH⊥x軸，交于H，如圖3所示：
∵y軸平分∠PAB，AO⊥BF，
∴BO=OF，
∵P（2，2），
∴MP=PH=2，
∵∠FPB=∠APB=90°，
∴∠FPH=∠QPM，
在△PMQ和△PHF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FPH=∠QPM}\\{PH=PM}\\{∠PHF=∠PMQ=90°}\end{array}\right.$，
∴△PMQ≌△PHF（ASA），
∴MQ=HF，
∴$\frac{PM+MQ}{OB}$=$\frac{OH+HF}{OB}$=$\frac{OF}{OB}$=1，
∴$\frac{PM+MQ}{BO}$為定值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，難度較大，需要通過(guò)作輔助線(xiàn)證明三角形全等才能得出結(jié)論．