Question

4．Rt△ABD的兩頂點(diǎn)A、B分別在x軸和y軸上運(yùn)動(dòng)，其中∠ABD=90°，∠D=30°，AB=4，則頂點(diǎn)D到原點(diǎn)O的距離的最大值和最小值的乘積為48．

Answer 1

分析 要求OD的最小值，關(guān)鍵是作出合適的圖形，然后根據(jù)三角形三邊的關(guān)系可知兩邊之差小于第三邊，兩邊之和大約第三邊，由勾股定理和在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，可以求得BD、BC的長(zhǎng)，從而可以求得OD的最大值和最小值，本題得以解決．

解答 解：取AB的中點(diǎn)C，連接OC、CD、OD，如下圖所示，

∵∠ABD=90°，∠D=30°，AB=4，
∴AD=8，OC=BC=AC=2，BD=$\frac{AB}{tan30°}=\frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=4\sqrt{3}$，
∴$CD=\sqrt{B{D}^{2}+B{C}^{2}}=\sqrt{（4\sqrt{3}）^{2}+{2}^{2}}$=$2\sqrt{13}$，
∴CD-OC≤OD≤CD+OC，
∴$2\sqrt{13}-2≤OD≤2\sqrt{13}+2$，
∵$（2\sqrt{13}+2）（2\sqrt{13}-2）=（2\sqrt{13}）^{2}-{2}^{2}$=52-4=48，
即頂點(diǎn)D到原點(diǎn)O的距離的最大值和最小值的乘積為48，
故答案為：48．

點(diǎn)評(píng) 本題考查勾股定理、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半，直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊與斜邊的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件．