Question

如圖，在平面直角坐標系中，點0為坐標原點，△ABC的頂點B、C的坐標分別為（-2，O）、（3，O），頂點A在y軸的正半軸上，△ABC的高BD交線段DA于點E，且AD=BD．
（1）求線段AE的長；
（2）動點P從點E出發(fā)沿線段EA以每秒1個單位長度的速度向終點A運動，動點Q從點B出發(fā)沿射線BC以每秒4個單位長度的速度運動，P、Q兩點同時出發(fā)，且點P到達A點處時P、Q兩點同時停止運動．設(shè)點P的運動時間為t秒，△PEQ的面積為S，請用含t的式子表示S，直接寫出相應(yīng)的t的取值范圍；
（3）在（2）問的條件下，點F是直線AC上的一點且CF=BE，是否存在t值，使以點B、E、P為頂點的三角形與以點F，C、Q為頂點的三角形全等？若存在，請求出符合條件的t值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),坐標與圖形性質(zhì)

專題：動點型

分析：（1）易證∠OAC=∠CBD，即可證明△AED≌△BCD，可得AE=BC，即可解題；
（2）分類討論：①當點Q在線段BO上時，根據(jù)S=

1

2

PE•OQ即可解題；
②當點Q在線段BO的延長線上時，根據(jù)S=

1

2

PE•OQ即可解題；
（3）有兩種情況：①當點F在線段AC的延長線上時，用t分別表示PE，QC，根據(jù)PE=QC即可求得t的值，即可解題，
②當點F在線段AC上時（如圖4），點F與D重合，用t分別表示PE，QC，根據(jù)PE=QC即可求得t的值，即可解題．

解答：解：（1）∵BD⊥AC，
∴∠ADE=∠BDC=90°，
∴∠CBD+∠ACB=90°，
∵∠AOC=90°，
∴∠OAC+∠ACB=90°，
∴∠OAC=∠CBD，
在△AED和△BCD中，

∠OAC=∠CBD AD=BD ∠ADE=∠BDC

，
∴△AED≌△BCD（ASA），
∴AE=BC，
∵B（-2，0），C（3，0）
∴BC=5，
∴AE=5．
（2）分類討論：①當點Q在線段BO上時，（如圖1）

S=

1

2

PE•OQ=

1

2

t（2-4t）=-2t²+t，（0＜t＜

1

2

）；
②當點Q在線段BO的延長線上時，（如圖2）

S=

1

2

PE•OQ=

1

2

t（4t-2）=2t²-t，（

1

2

＜t＜5）；
（3）有兩種情況：
①當點F在線段AC的延長線上時（如圖3）
可知∠BEP=∠FCQ，BE=CF，此時存在△PBE≌△QCF，
則PE=QC，

此時CQ=5-4t，PE=t，
∴5-4t=t，
解得：t=1；
②當點F在線段AC上時（如圖4），點F與D重合，
可知∠BEP=∠FCQ，BE=CF，此時存在△PBE≌△QCF，
則PE=QC，

此時CQ=4t-5，PE=t，
∴4t-5=t，
解得：t=

5

3

．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△AED≌△BCD是解題的關(guān)鍵．