Question

8．已知：如圖，等腰Rt△ABC中，D為AC上一點(diǎn)，AE∥BC交BD延長(zhǎng)線(xiàn)于E，AN⊥BE于N，在BE上截取MB=AN，過(guò)M作MF⊥BE交AC延長(zhǎng)線(xiàn)于F，求證：CF=BC．

Answer 1

分析 首先證明∠3=∠2，然后可證明△BMH≌△AND，進(jìn)而可得BH=AD，再由條件AC=BC，可得DC=HC，然后證明△DCB≌△HCF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得CB=CF．

解答 證明：∵AE∥BC，
∴∠E=∠3，∠EAD=∠ACB=90°，
∵AN⊥BE，
∴∠1+∠E=90°，∠ANE=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠E，
∴∠3=∠2，
在△BMH和△AND中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠2=∠3}\\{AN=MB}\\{∠AND=∠BMH}\end{array}\right.$，
∴△BMH≌△AND（ASA），
∴BH=AD，
∵AC=BC，
∴DC=HC，
∵AN⊥EB，F(xiàn)M⊥EB，
∴MF∥AN，
∴∠2=∠F，
∴∠3=∠F，
在△DBC和△HCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠3=∠F}\\{∠DCB=∠HCF}\\{DC=HC}\end{array}\right.$，
∴△DCB≌△HCF（AAS），
∴CB=CF．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是正確證明DC=HC，再證明出△DCB≌△HCF．