Question

3．如圖，矩形ABCD中，AD＞AB，AB=1，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，將△ABE沿BE翻折得到△FBE，延長(zhǎng)BF交CD邊于點(diǎn)G，連結(jié)EG．
（1）求證：△EFG≌△EDG；
（2）若點(diǎn)G恰是CD邊的中點(diǎn)，求AD的長(zhǎng)；
（3）若△ABE與△BCG相似，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由△FBE是由△ABE翻折得到的，利用HL，即可求得Rt△EFG≌Rt△EDG，則可證得DG=FG；
（2）由G是CD的中點(diǎn)，得到DG與CG的值，在Rt△BCG中，利用勾股定理即可求得AD的長(zhǎng)；
（3）由平行線與翻折變換的性質(zhì)，易得：∠ABE=$\frac{1}{2}$∠CGB，又由相似三角形的性質(zhì)與三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求得AD的值．

解答 （1）證明：∵△FBE是由△ABE翻折得到的，
∴AE=FE，∠EFB=∠EAB=90°，
∴∠EFG=∠EDG=90°．
∵AE=DE，
∴FE=DE．
∴在Rt△EFG與Rt△EDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{EF=ED}\\{EG=EG}\end{array}\right.$，
∴Rt△EFG≌Rt△EDG（HL）．
∴DG=FG；

（2）解：若G是CD的中點(diǎn)，則DG=CG=$\frac{1}{2}$，
∵在Rt△BCG中，BC=$\sqrt{B{G}^{2}-C{G}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴AD=$\sqrt{2}$．

（3）解：由題意AB∥CD，
∴∠ABG=∠CGB．
∵△FBE是由△ABE翻折得到的，
∴∠ABE=∠FBE=$\frac{1}{2}$∠ABG，
∴∠ABE=$\frac{1}{2}$∠CGB．
∴若△ABE與△BCG相似，則必有∠ABE=∠CBG=30°．
在Rt△ABE中，AE=ABtan∠ABE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴AD=2AE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了翻折變換的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用．