Question

15．等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，連接CF，過點(diǎn)B作BH⊥CF交CF于G，交AC于H．

（1）如圖（1），延長BH到點(diǎn)E，連接AE，當(dāng)∠EAB=90°，AE=1，F(xiàn)為AB的三等分點(diǎn)，且BF＜AF時(shí)，求BE的長；
（2）如圖（2），若F為AB中點(diǎn)，連接FH，求證：BH+FH=CF；
（3）如圖（3），在AB上取點(diǎn)K，使AK=BF，連接HK并延長與CF的延長線交于點(diǎn)P，若G為CP的中點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出AH、BH、PG所滿足的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）證明△EAB≌△FBC，得BF=AE=1，由勾股定理求出BE的長；
（2）證明：過點(diǎn)A作AD⊥AB交BH的延長線于點(diǎn)D．推出Rt△BAD≌Rt△CBF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AD=BF，BD=CF．由F為AB的中點(diǎn)，得到AF=BF，等量代換得到AD=AF，證得△AHD≌△AHF，得到DH=FH．根據(jù)線段的和差即可得到結(jié)論；
（3）作輔助線構(gòu)建全等三角形和等邊三角形，先證明△MAB≌△FBC和△MAH≌△KAH，根據(jù)全等三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理列等式，求出∠P=30°，由等邊△RHB得∠ABH=∠RBC，則△ABH≌△CBR，所以RC=AH，在直角△GHC中利用30°角的余弦列式得出CH=$\frac{CG}{cos30°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$CG，即RH+RC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$CG，從而得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵BH⊥CF，∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CFB=∠CFB+∠BCF=90°，
∴∠ABE=∠BCF，
在△ABE與△BCF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EAB=∠FBC=90°}\\{AB=BC}\\{∠ABE=∠BCF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCF，
∴BF=AE=1，
∵F為AB的三等分點(diǎn)，且BF＜AF，
∴AB=3BF=3，
∴BE=$\sqrt{A{B}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{10}$；

（2）證明：過點(diǎn)A作AD⊥AB交BH的延長線于點(diǎn)D．
∴∠BAD=∠CBF=90°，
∴∠D+∠ABD=∠CFB+∠ABD=90°，
∴∠ABD=∠BCF，
在△ABD與△BCF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠CFB}\\{∠DAB=∠FBC}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴Rt△BAD≌Rt△CBF，
∴AD=BF，BD=CF．
∵F為AB的中點(diǎn)，
∴AF=BF，
∴AD=AF，
在△ADH與△AFH中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AF}\\{∠DAH=∠HAF=45°}\\{AH=AH}\end{array}\right.$，
∴△AHD≌△AHF，
∴DH=FH．
∵BD=BH+DH=BH+FH，
∴BH+FH=CF；
（3）如圖4，AH+BH=$\frac{\sqrt{3}}{6}$PG，理由是：
過A作AM⊥AB，交BH延長線于M，
由（2）證得△MAB≌△FBC，
∴AM=BF=AK，∠AMB=∠CFB，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°，
∵∠MAB=90°，
∴∠MAH=45°，
∴∠MAH=∠CAB，
在△MAH與△KAH中，$\left\{\begin{array}{l}{AM=AK}\\{∠MAH=∠KAH}\\{AH=AH}\end{array}\right.$，
∴△MAH≌△KAH，
∴∠AMB=∠AKH，
∴∠AKH=∠CFB，
∵∠AKH=∠PKF，∠CFB=∠PFK，
∴∠PKF=∠PFK，
∵FC⊥BH，G是PC中點(diǎn)，
∴CH=PH，
∴∠AHK=2∠P，
在△PFK中，∠PKF=$\frac{180°-∠P}{2}$=90°-$\frac{1}{2}$∠P，
則90°-$\frac{1}{2}$∠P+45°+2∠P=180°，
解得∠P=30°，
在CH上取一點(diǎn)R，使RH=BH，連接BR，
∴∠RHB=$\frac{180°-∠AHK}{2}$=60°，
∴△RHB是等邊三角形，
∴BH=BR=RH，
∵∠CAB=∠ACB=45°，∠AHB=180°-60°=120°，∠BRC=180°-60°=120°，
∴∠ABH=∠RBC，
在△ABH與△CBR中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABH=∠CBR}\\{AB=BC}\\{∠BAH=∠BCR}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△CBR，
∴AH=CR，
∵cos30°=$\frac{CG}{CH}$，
∴CH=$\frac{CG}{cos30°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$CG，
∴RH+RC=BH+AH=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$CG，
∵PG=CG，
∴BH+AH=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$CG．

點(diǎn)評(píng) 本題是三角形的綜合題，考查了等腰直角三角形、全等三角形、等腰三角形等圖形的性質(zhì)和判定，綜合性較強(qiáng)；在第一問中，F(xiàn)為AB的三等分點(diǎn)時(shí)，要分兩種情況進(jìn)行討論，根據(jù)勾股定理和平行線分線段成比例定理得出結(jié)論；在證明兩條線段相等時(shí)，如果不能直接得出，可以考慮利用第三線段得出，也可以利用等式的性質(zhì)和線段的和差關(guān)系得出，本題的后兩問就是利用了這個(gè)方法．