Question

20．已知方程x²-x+1-m=0的兩根α，β滿足|α|+|β|≤5，試求整數(shù)m的值．

Answer 1

分析 先計算兩根和與兩根積，計算α²+β²的值，再將所給的式子兩邊平方，化成α²+2|αβ|+β²≤25，代入分兩種情況討論，分別求出m的取值，還要根據(jù)判別式列不等式計算，最后取整數(shù)．

解答 解：由根與系數(shù)的關(guān)系得：α+β=1，αβ=1-m，
α²+β²=（α+β）²-2αβ=1-2×（1-m）=2m-1，
|α|+|β|≤5，
兩邊平方得：α²+2|αβ|+β²≤25，
2m-1+2|1-m|≤25，
①當(dāng)m≤1時，2m-1+2-2m≤25，
1≤25，成立，
②當(dāng)m＞1時，2m-1+2m-2≤25，
m≤7，
即1＜m≤7，
由①②得：m≤7，
由△=（-1）²-4×1×（1-m）≥0，
m≥$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{3}{4}$≤m≤7，
∵m是整數(shù)，
∴m可以是1，2，3，4，5，6，7．

點評 本題是利用根與系數(shù)的關(guān)系，不解方程求關(guān)于根的式子的值；此類題的解題思路為：①先根據(jù)方程表示出兩根和與兩根積；②把所給的式了進(jìn)行變形，因為是絕對值，所以兩邊平方；要注意不改變原式的值；③考慮根的判別式的情況，本題容易忽略這一環(huán)節(jié)．