Question

5．在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E，F(xiàn)是對角線AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別從A，C同時(shí)出發(fā)相向而行，速度均為1cm/s，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，0≤t≤5．
（1）若G，H分別是AB，DC中點(diǎn)，求證：四邊形EGFH是平行四邊形．
（2）在（1）條件下，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形EGFH為矩形．
（3）若G，H分別是折線A-B-C，C-D-A上的動(dòng)點(diǎn)，與E，F(xiàn)相同的速度同時(shí)出發(fā)，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形EGFH為菱形．

Answer 1

分析 （1）由“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”來判定；
（2）由“對角線相等的平行四邊形是矩形”判定四邊形EGFH為矩形時(shí)t的取值；
（3）首先，當(dāng)四邊形EGFH為菱形時(shí)，其對角線互相垂直且互相平分，在根據(jù)這一特點(diǎn)構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求得t的對應(yīng)的取值范圍．

解答 解：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B=90°，
∴AC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，∠GAF=∠HCE，
∵G、H分別是AB、DC的中點(diǎn)，
∴AG=BG，CH=DH，
∴AG=CH，
∵AE=CF，
∴AF=CE，
在△AFG與△CEH中，$\left\{\begin{array}{l}{AG=CH}\\{∠GAF=∠HCE}\\{AF=CE}\end{array}\right.$
∴△AFG≌△CEH（SAS），
∴GF=HE
同理：GE=HF
∴四邊形EGFH是平行四邊形．
（2）解：如下圖所示，連接GH，由（1）可知四邊形EGFH是平行四邊形
∵點(diǎn)G、H分別是矩形ABCD的邊AB、DC的中點(diǎn)，
∴GH=BC=4，
∴當(dāng)EF=GH=4時(shí)，四邊形EGFH是矩形，分兩種情況：
①AE=CF=t，EF=5-2t=4，
解得：t=0.5．
②AE=CF=t，EF=5-2（5-t）=4
解得：t=4.5
即：當(dāng)t為0.5秒或4.5時(shí)，四邊形EGFH為矩形
                      
（3）如下圖所示，連接AG、CH

∵如果四邊形EGFH是菱形，
則必有EF⊥GH，OE=OF，OG=OH
∴易證△CAB∽△CGO
∴$\frac{AB}{OG}=\frac{AC}{CG}$
∴$\frac{3}{OG}=\frac{5}{7-t}$
∴OG=$\frac{21-3t}{5}$
又在Rt△ABG中，AB=3，BG=t-3，
∴AG²=（t-3）²+9，
∴在Rt△AGO中，（t-3）²+9=（$\frac{5}{2}$）²+（$\frac{21-3t}{5}$）²，
化簡得：64t²-96t-589=0
           （8t-6）²=625，
             8t-6=±25
       解得：t₁=$\frac{31}{8}$或t₂=-19（舍去）
即：當(dāng)t為$\frac{31}{8}$秒時(shí)，四邊形EGFH為菱形．

點(diǎn)評 本題考查了特殊四邊形的判定、性質(zhì)及綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握特殊四邊形的性質(zhì)、判定，具有應(yīng)用代數(shù)的方法解決幾何問題的意識．