Question

20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點 A、C關(guān)于原點O對稱，分別過點A、C作x軸的垂線，它們與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象交于點B、D，連結(jié)AD、BC，若C點的坐標(biāo)為（m，0）
（1）則A點的坐標(biāo)是（-m，0）；
（2）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；
（3）延長DA交反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象于另一點E（-10，-4），若m=5，在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上，是否存在點P，使得△ADP的面積等于△ABO的面積的2倍？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)中心對稱的性質(zhì)即可解答；
（2）將B、C橫坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，求出AB、CD的長，再根據(jù)AB∥CD判斷出四邊形ABCD是平行四邊形；
（3）作P₁H⊥AD的延長線于H，將E（-10，-4）代入數(shù)y=$\frac{k}{x}$得k=40，函數(shù)解析式為y=$\frac{40}{x}$，當(dāng)m=5時，A（-5，0），C（5，0），將x=-5代入y=$\frac{40}{x}$得，y=-8，則B（-5，-8），同理可得，D（5，8）．求出AD解析式，然后根據(jù)根據(jù)點到直線的距離公式得$\frac{|\frac{4}{5}x-\frac{40}{x}+4|}{\sqrt{（\frac{4}{5}）^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{40}{\sqrt{41}}$，求出P點坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）∵點 A、C關(guān)于原點O對稱，A點的坐標(biāo)為（m，0），
∴A（-m，0），
故答案為（-m，0）；

（2）將x=-m，x=m分別代入解析式得，y=-$\frac{k}{m}$，y=$\frac{k}{m}$，
可知，AB=$\frac{k}{m}$，DC=$\frac{k}{m}$，
則AB=DC，
∵AB⊥x軸，DC⊥x軸，
∴AB∥DC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形；

（3）作P₁H⊥AD的延長線于H，
將E（-10，-4）代入數(shù)y=$\frac{k}{x}$得k=40，
函數(shù)解析式為y=$\frac{40}{x}$，
當(dāng)m=5時，A（-5，0），C（5，0），將x=-5代入y=$\frac{40}{x}$得，y=-8，
則B（-5，-8），同理可得，D（5，8）．
S_△ABO=$\frac{1}{2}$×5×8=20，
AD=$\sqrt{（5+5）^{2}+（8-0）^{2}}$=2$\sqrt{41}$，
則$\frac{1}{2}$AD•P₁H=40，
即$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{41}$•P₁H=40，
解得，P₁H=$\frac{40}{\sqrt{41}}$，
設(shè)AD解析式為y=kx+b，
把A（-5，0），D（5，8）分別代入解析式得，$\left\{\begin{array}{l}-5k+b=0\\ 5k+b=8\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}k=\frac{4}{5}\\ b=4\end{array}\right.$，
函數(shù)解析式為y=$\frac{4}{5}$x+4，
設(shè)P₁（x，$\frac{40}{x}$），
根據(jù)點到直線的距離公式得$\frac{|\frac{4}{5}x-\frac{40}{x}+4|}{\sqrt{（\frac{4}{5}）^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{40}{\sqrt{41}}$，
兩邊平方得（$\frac{4}{5}$x-$\frac{40}{x}$+4）²=$\frac{1600}{41}$×$\frac{41}{25}$=64，
整理得，①x²-5x-50=0，解得，x₁=10，x₂=-5，
可得P₁（10，4），P₄（-5，-8）（與B重合）；
②x²+15x-50=0，解得，x₁=$\frac{-15+\sqrt{445}}{2}$，x₂=$\frac{-15-\sqrt{445}}{2}$；
可得P₂（$\frac{-15+\sqrt{445}}{2}$，$\frac{60+4\sqrt{445}}{11}$），P₃（$\frac{-15-\sqrt{445}}{2}$，$\frac{60-4\sqrt{445}}{11}$）．
綜上所述，P點坐標(biāo)為：P₁（10，4），P₂（$\frac{-15+\sqrt{445}}{2}$，$\frac{60+4\sqrt{445}}{11}$），P₃（$\frac{-15-\sqrt{445}}{2}$，$\frac{60-4\sqrt{445}}{11}$），P₄（-5，-8）．

點評 本題考查了反比例函數(shù)綜合題，涉及中心對稱、平行四邊形的判定和性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、三角形的面積公式等知識，綜合性強，是一道好題．