Question

20．如圖，△ABC中，AB=AC，AE⊥BC于E，D為△ABC外-點(diǎn)，且∠ABD=∠ACD，BD交AC于O，AM⊥BD于M，連AD．
（1）求證：∠BDC=2∠BAE
（2）求證：∠DBC+△BCD=2∠ADB
（3）求：$\frac{BD-CD}{DM}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAC=2∠BAE，由∠ABD=∠ACD，于是得到A，B，C，D四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論
（2）由∠ABD=∠ACD，∠ABC=∠ACB，于是得到∠ACD+∠DBC=∠ABC=∠ACB，等量代換得到∠DBC+∠BCD=2∠ACB，根據(jù)圓周角定理得到∠ADB=∠ACB，即可得到結(jié)論；（3）在BD上截取BF=CD，證得△ABO∽△ACD，得到AF=AD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到DF=2DM，于是求得結(jié)果．

解答 解：（1）∵AB=AC，AE⊥BC于E，
∴∠BAC=2∠BAE，
∵∠ABD=∠ACD，
∴A，B，C，D四點(diǎn)共圓，
∴∠BDC=∠BAC=2∠BAE；

（2）∵∠ABD=∠ACD，∠ABC=∠ACB，
∴∠ACD+∠DBC=∠ABC=∠ACB，
∴∠DBC+∠BCD=2∠ACB，
∵A，B，C，D四點(diǎn)共圓，
∴∠ADB=∠ACB，
∴∠DBC+∠BCD=2∠ADB；

（3）在BD上截取BF=CD，
在△ABO與△ACD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABD=∠ACD}\\{BF=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABO∽△ACD，
∴AF=AD，∵AM⊥DF，
∴DF=2DM，
∴$\frac{BD-CD}{DM}$=$\frac{BD-BF}{DM}$=$\frac{2DM}{DM}$=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．