Question

6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形OABC，邊OA，OC分別在x軸、y軸上，如果以對(duì)角線OB為邊作第二個(gè)正方形OBB₁C₁，再以對(duì)角線OB₁為邊作第三個(gè)正方形OB₁B₂C₂，…，照此規(guī)律作下去，則點(diǎn)B₆的坐標(biāo)為（8，-8）．

Answer 1

分析 根據(jù)勾股定理求出OB的長(zhǎng)度，利用正方形的每一條對(duì)角線都把它分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形得出B的坐標(biāo)，再根據(jù)題意和圖形可看出每經(jīng)過(guò)一次變化，都逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，邊長(zhǎng)都乘以$\sqrt{2}$，所以可求出點(diǎn)B₆的坐標(biāo)．

解答 解：∵四邊形OABC是一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，
∴OB=$\sqrt{2}$，B（1，1），
∵正方形的每一條對(duì)角線都把它分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形，
∴OB₁=$\sqrt{2}$OB=2=（$\sqrt{2}$）²，
∴OB₂=$\sqrt{2}$OB₁=2$\sqrt{2}$=（$\sqrt{2}$）³，B₂（-2，2），
根據(jù)題意和圖形可看出每經(jīng)過(guò)一次變化，都逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，邊長(zhǎng)都乘以$\sqrt{2}$，
∴點(diǎn)B₆在第四象限的角平分線上，
∵OB₆=（$\sqrt{2}$）⁷，
∴點(diǎn)B₆的橫坐標(biāo)是$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（$\sqrt{2}$）⁷=8，縱坐標(biāo)是-$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（$\sqrt{2}$）⁷=-8，
∴點(diǎn)B₆的坐標(biāo)為（8，-8）．
故答案為：（8，-8）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正方形的性質(zhì)和點(diǎn)的坐標(biāo)，解答本題的關(guān)鍵是看出每經(jīng)過(guò)一次變化，點(diǎn)B_i都逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，邊長(zhǎng)OB_i都擴(kuò)大$\sqrt{2}$倍．