Question

9．開口向下的拋物線y=（m²-2）x²+2mx+1的對稱軸經過點（-1，3）．
（1）求m的值；
（2）若此拋物線交x軸于點A，B，交y軸于點C，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）根據對稱軸方程即可求出m的兩個值，再根據開口向下取舍即可；
（2）求出二次函數與x軸、y軸交點坐標，即可計算△ABC的面積．

解答 解：（1）由于拋物線y=（m²-2）x²+2mx+1的對稱軸經過點（-1，3），
∴對稱軸為直線x=-1，x=-$\frac{2m}{2（{m}^{2}-2）}$=-1，
解得m₁=-1，m₂=2．
由于拋物線的開口向下，所以當m=2時，m²-2=2＞0，不合題意，應舍去，
∴m=-1；
（2）∵m=-1，
∴y=-x²-2x+1，
令y=0，0=-x²-2x+1，
解得：x₁=-1-$\sqrt{2}$，x₂=-1+$\sqrt{2}$，
∴AB=2$\sqrt{2}$，
令x=0，y=1，
∴OC=1，
∴△ABC的面積=$\frac{1}{2}$×1×2$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了拋物線與坐標軸的交點以及待定系數法，根據拋物線的對稱軸方程列出關于m的方程并根據二次函數性質取舍是解決問題的關鍵．