Question

在坐標(biāo)系中，有一直角三角尺的直角頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，旋轉(zhuǎn)它時(shí)與拋物線y=x²交于點(diǎn)A、B，分別過A、B作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)C、D．
（1）設(shè)A、B的橫坐標(biāo)分別為a、b，寫出b與a之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）證明：AB必過y軸上一定點(diǎn)；
（3）設(shè)點(diǎn)E（x，y）是AB的中點(diǎn)，求y與x的關(guān)系式．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）運(yùn)用拋物線求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)．再運(yùn)用正切求出ab=-1．
（2）設(shè)y=mx+n，利用點(diǎn)坐標(biāo)求出直線解析式，x=0時(shí)，y=1．即得AB必過y軸上一定點(diǎn)（0，1）；
（3）由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)．求出點(diǎn)E（x，y）是AB的中點(diǎn)，再由ab=-1．求出y與x的關(guān)系式．

解答：（1）解：∵拋物線y=x²，A、B的橫坐標(biāo)分別為a、b，
∴A（a，a²），B（b，b²）．
∵一直角三角尺的直角頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，
∴tan∠AOC=tan∠OBD，即

AC

CO

=

OD

BD

，

a2

-a

=

b

b2

，
∴ab=-1．
（2）證明：設(shè)y=mx+n
∵A（a，a²），B（b，b²）．
∴

a2=ma+n b2=mb+n

，
解得

m=a+b n=-ab

，
∴y=（a+b）x-ab．
∴x=0時(shí)，y=1．
∴AB必過y軸上一定點(diǎn)（0，1）；
（3）解：∵A（a，a²），B（b，b²）．點(diǎn)E（x，y）是AB的中點(diǎn)，
∴x=

a+b

2

，y=

a2+b2

2

=

(a+b)2-2ab

2

，
∴y=2x²+1．

點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)綜合題，解題的關(guān)鍵是求出ab=-1．