Question

17．如圖，已知⊙O的直徑AB=12，弦AC=10，D是$\widehat{BC}$的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OD，由D為弧BC的中點(diǎn)，得到兩條弧相等，進(jìn)而得到兩個(gè)同位角相等，確定出OD與AE平行，利用兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)得到OD與DE垂直，即可得證；
（2）過(guò)O作OF垂直于AC，利用垂徑定理得到F為AC中點(diǎn)，再由四邊形OFED為矩形，求出FE的長(zhǎng)，由AF+EF求出AE的長(zhǎng)即可．

解答 （1）證明：連接OD，
∵D為$\widehat{BC}$的中點(diǎn)，
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，
∴∠BOD=∠BAE，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，
∴∠ADE=90°，
∴∠AED=90°，
∴OD⊥DE，
則DE為圓O的切線；

（2）解：過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AC，
∵AC=10，
∴AF=CF=$\frac{1}{2}$AC=5，
∵∠OFE=∠DEF=∠ODE=90°，
∴四邊形OFED為矩形，
∴FE=OD=$\frac{1}{2}$AB，
∵AB=12，
∴FE=6，
則AE=AF+FE=5+6=11．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了切線的性質(zhì)與判定，勾股定理，以及垂徑定理，熟練掌握各自的性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．