Question

16．如圖，在平面直角坐標系中，點C（0，4），射線CE∥x軸，直線y=-$\frac{1}{2}$x+b交線段OC于點B，交x軸于點A，D是射線CE上一點．若存在點D，使得△ABD恰為等腰直角三角形，則b的值為$\frac{4}{3}$或$\frac{8}{3}$或2．

Answer 1

分析 分三種情況討論：
①當∠ABD=90°時，證得△DBC≌△BAO，得出BC=OA，即4-b=2b，求得b=$\frac{4}{3}$；
②當∠ADB=90°時，作AF⊥CE于F，同理證得△BDC≌△DAF，得出BC=DF，即2b-4=4-b，求得b=$\frac{8}{3}$；
③當∠DAB=90°時，作DF⊥OA于F，同理證得△AOB≌△DFA，得出OA=DF，即2b=4，解得b=2．

解答 解：①當∠ABD=90°時，如圖1，則∠DBC+∠ABO=90°，
∴∠DBC=∠BAO，
由直線y=-$\frac{1}{2}$x+b交線段OC于點B，交x軸于點A可知OB=b，OA=2b，
∵點C（0，4），
∴OC=4，
∴BC=4-b，
在△DBC和△BAO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBC=∠BAO}\\{∠DCB=∠AOB}\\{BD=AB}\end{array}\right.$
∴△DBC≌△BAO（AAS），
∴BC=OA，
即4-b=2b，
∴b=$\frac{4}{3}$；
②當∠ADB=90°時，如圖2，
作AF⊥CE于F，
同理證得△BDC≌△DAF，
∴CD=AF=4，BC=DF，
∵OB=b，OA=2b，
∴BC=DF=2b-4，
∵BC=4-b，
∴2b-4=4-b，
∴b=$\frac{8}{3}$；
③當∠DAB=90°時，如圖3，
作DF⊥OA于F，
同理證得△AOB≌△DFA，
∴OA=DF，
∴2b=4，
∴b=2；
綜上，b的值為$\frac{4}{3}$或$\frac{8}{3}$或2．
故答案為$\frac{4}{3}$或$\frac{8}{3}$或2．

點評 本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，作出輔助性構(gòu)建求得三角形上解題的關(guān)鍵．