Question

如圖，矩形ABCD的頂點(diǎn)B，C在x軸上，A，D在拋物線y=-

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x²+2上，矩形ABCD在拋物線與x軸所圍成的圖形內(nèi)．
（1）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，y），試求矩形ABCD的周長P關(guān)于自變量x的函數(shù)關(guān)系式，并求自變量x的取值范圍．
（2）是否存在這樣的矩形ABCD，使它的周長為9？試證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）由圖及四邊形ABCD為矩形可知AD∥x軸，長為2x的絕對值，AB的長為A點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由x與y的關(guān)系，可求得p關(guān)于自變量x的解析式，由矩形ABCD在拋物線里面，可得x的取值范圍．
（2）令P=9，解出x的值后，即可作出判斷．

解答：解：（1）∵A點(diǎn)在x軸的正方向上坐標(biāo)為（x，y），四邊形ABCD為矩形，BC在x軸上，
∴AD∥x軸，
又∵拋物線關(guān)于y軸對稱，
∴A、B關(guān)于y軸分別與D、C對稱，
∴AD的長為2x，AB長為y，
∴周長p=2y+4x=2（-

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2

x²+2）+4x=-x²+4x+4，
∵A在拋物線上，且ABCD組成矩形，
∴0＜x＜2，
∴p=-x²+4x+4，其中0＜x＜2．

（2）由題意得：-x²+4x+4=9，
因?yàn)榉匠虩o解，
故不存在這樣的矩形ABCD，使它的周長為9．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的綜合，解答本題的關(guān)鍵是得出周長P關(guān)于x的表達(dá)式，難度一般，注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．