Question

5．如圖，點D是線段BC的中點，分別以點B，C為圓心，BC長為半徑畫弧，兩弧相交于點A，連接AB，AC，AD，點E為AD上一點，連接BE，CE． 
（1）求證：BE=CE；
（2）以點E為圓心，ED長為半徑畫弧，分別交BE，CE于點F，G．若BC=4，∠EBD=30°，求圖中陰影部分（扇形）的面積．
（3）若用陰影部分扇形EFG圍成一個圓錐的側面，請求出這個圓錐的底面圓的半徑．

Answer 1

分析 （1）由點D是線段BC的中點得到BD=CD，再由AB=AC=BC可判斷△ABC為等邊三角形，于是得到AD為BC的垂直平分線，根據線段垂直平分線的性質得BE=CE；
（2）由EB=EC，根據等腰三角形的性質得∠EBC=∠ECB=30°，則根據三角形內角和定理計算得∠BEC=120°，在Rt△BDE中，BD=$\frac{1}{2}$BC=2，∠EBD=30°，根據含30°的直角三角形三邊的關系得到ED=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，然后根據扇形的面積公式求解．
（3）設這個圓錐的底面圓的半徑為r，列出方程2πr=$\frac{120•π•\frac{2\sqrt{3}}{3}}{180}$，即可解決問題．

解答 （1）證明：∵點D是線段BC的中點，
∴BD=CD，
∵AB=AC=BC，
∴△ABC為等邊三角形，
∴AD為BC的垂直平分線，
∴BE=CE；

（2）解：∵EB=EC，
∴∠EBC=∠ECB=30°，
∴∠BEC=120°，
在Rt△BDE中，BD=BC=2，∠EBD=30°，
∴ED=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，∠FEG=120°，
∴陰影部分（扇形）的面積=$\frac{120•π•（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}}{360}$=$\frac{4}{9}$π．

（3）設這個圓錐的底面圓的半徑為r，
則有2πr=$\frac{120•π•\frac{2\sqrt{3}}{3}}{180}$，
解得r=$\frac{2\sqrt{3}}{9}$．

點評 本題考查等邊三角形的判定與性質、線段的垂直平分線的性質、扇形的面積公式、弧長公式等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識，記住扇形的面積公式S=$\frac{nπ{r}^{2}}{360}$=$\frac{1}{2}$lr，弧長公式l=$\frac{nπr}{180}$．