Question

9．如圖，在?ABCD中，BD是對(duì)角線，AE⊥BD于點(diǎn)E，CF⊥BD于點(diǎn)F，試判斷
（1）△ABE和△CDF全等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）四邊形AECF是不是平行四邊形，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得AB與CD的關(guān)系，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠ABE=∠CDF，根據(jù)AAS，可得答案；
（2）根據(jù)平行線的判定，可得AE與CF的關(guān)系，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得AE與CF的大小關(guān)系，根據(jù)平行四邊形的判定，可得答案．

解答 解：（1）△ABE≌△CDF，理由如下：
∵AE⊥BD于點(diǎn)E，CF⊥BD于點(diǎn)F，
∴∠AEF=∠CFE=90°．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，
在△ABE與△DCF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠CDF}\\{∠AEF=∠CFE}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDF（AAS）；
（2）四邊形AECF是平行四邊形．
理由如下：∵AE⊥BD于點(diǎn)E，CF⊥BD于點(diǎn)F，
∴∠AEF=∠CFE=90°，
∴AE∥CF（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），
在平行四邊形ABCD中，AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，
在△ABE與△DCF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠CDF}\\{∠AEF=∠CFE}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE=CF，
∴四邊形AECF是平行四邊形（有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，利用；利用平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定，熟記平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．