Question

19．一個(gè)直立的火柴盒在桌面上倒下，啟迪人們發(fā)現(xiàn)快樂勾股定理的一種新的證明方法，如圖所示，火柴盒的一個(gè)側(cè)面ABCD倒下到A′B′C′D′的位置，連接CC′．設(shè)AB=a，BC=b，AC=c，請(qǐng)利用此圖證明勾股定理：a²+b²=c²．

Answer 1

分析 四邊形BCC′D′的面積從大的一方面來說屬于直角梯形，可利用直角梯形的面積公式進(jìn)行表示從組成來看，由三個(gè)直角三角形組成．應(yīng)利用三角形的面積公式來進(jìn)行表示．

解答 證明：四邊形BCC′D′為直角梯形，
∴S_{梯形BCC′D′}=$\frac{1}{2}$（BC+C′D′）•BD′=$\frac{（a+b）^{2}}{2}$，
又∵∠AB′C′=90°，Rt△ABC≌Rt△AB′C′
∴∠BAC=∠B′AC′．
∴∠CAC′=∠CAB′+∠B′AC′=∠CAB′+∠BAC=90°；
∴S_{梯形BCC′D′}=S_△ABC+S_△CAC′+S_△D′AC′=$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$c²+$\frac{1}{2}$ab=$\frac{{c}^{2}+2ab}{2}$；
∴$\frac{（a+b）^{2}}{2}$=$\frac{{c}^{2}+2ab}{2}$；
∴a²+b²=c²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了勾股定理的證明．證明勾股定理時(shí)，需注意：組成的圖形的面積有兩種表示方法：大的面積的表示方法和各個(gè)組成部分的面積的和．