Question

已知拋物線y=x²-2ax+2a+b在x軸上截得的線段長(zhǎng)為3，且拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)滿足關(guān)系式：y=-x²，求a、b的值．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)

專題：

分析：首先，設(shè)拋物線y=x²-2ax+2a+b的圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是x₁、x₂．利用根與系數(shù)的關(guān)系求得x₁+x₂=2a，x₁•x₂=2a+b，由完全平方公式變形得到
（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂，即9=4a²-8a-4b，①
然后，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式和二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征推知2a+b-a²=-a²，解得b=-2a，②
由①②解得，a=

3

2

，b=-3，或a=-

3

2

，b=3．

解答：解：設(shè)拋物線y=x²-2ax+2a+b的圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是x₁、x₂．
則x₁+x₂=2a，x₁•x₂=2a+b．
∵拋物線y=x²-2ax+2a+b在x軸上截得的線段長(zhǎng)為3，
∴|x₁-x₂|=3，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂，即9=4a²-8a-4b，①
∵y=x²-2ax+2a+b=（x-a）²+2a+b-a²，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（a，2a+b-a²）．
又∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)滿足關(guān)系式：y=-x²，
∴2a+b-a²=-a²，
解得，b=-2a，②
由①②解得，a=

3

2

，b=-3，或a=-

3

2

，b=3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)．解題時(shí)，利用了完全平方公式的變形、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)．