Question

16．如圖1，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，∠A=30°，D為AB上一個動點，過點D作DP⊥AB交折線A-C-B于點P，設AD的長為x，△APD的面積為y，y關于x的函數圖象由C₁，C₂兩段組成，如圖2所示．
（1）當x=4.5時，求AP的長；
（2）求圖2中圖象C₂段的函數解析式；
（3）求x為何值時，△APD的面積為$\frac{5\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用銳角三角函數直接求出AP；
（2）由圖形得出點P和點C重合時，AD=4.5，利用含30°角的直角三角形的性質求出y的最大值，進而求出BE，再判斷出PD∥CE得出△BDP∽△BEC得出比例式表示出BD，PD最后用三角形的面積公式即可得出結論；
（3）當點P在邊AC上時，先利用含30°的直角三角形的性質得出PD，再用三角形面積公式建立方程求解，當點P在BC上時，利用（2）的函數關系式即可得出結論．

解答 解：（1）在Rt△ADP中，AD=x=4.5，∠A=30°，
∴AP=$\frac{AD}{cos∠A}$=$\frac{4.5}{cos30°}$=3$\sqrt{3}$；

（2）由圖2知，當AD=x=4.5時，y=S_△APD的面積最大，此時，點P和點C重合，
由（1）知，AD=4.5，
∴AC=AP=3$\sqrt{3}$，
如圖1，過點C作CE⊥AB，
∴AE=x，CE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴y=S_△ACE=$\frac{1}{2}$AE×CE=$\frac{1}{2}$×4.5×$\frac{3\sqrt{3}}{2}$=$\frac{27\sqrt{3}}{8}$，
在Rt△BCE中，CE=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，∠BCE=90°-∠ACE=30°，
∴BE=CE•tan∠BCE=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$×tan30°=$\frac{3}{2}$，
∴BC=3，
在Rt△ABC中，AB=2BC=6，
如圖2，點D在線段BE上時，
∵CE⊥AB，PD⊥AB，
∴CE∥PD，
∴△BDP∽△BEC，
∴$\frac{PD}{CE}=\frac{BD}{BE}$，
∵BD=AB-AD=6-x，
∴$\frac{PD}{\frac{3\sqrt{3}}{2}}=\frac{6-x}{\frac{3}{2}}$，
∴PD=$\sqrt{3}$（6-x），y=$\frac{1}{2}$AD•PD=$\frac{1}{2}$x•$\sqrt{3}$（6-x）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x²-6x）（4.5＜x＜6）；

（3）當0＜x≤4.5時，在Rt△APD中，∠BAC=30°，AD=x，
∴PD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∴y=$\frac{1}{2}$x•$\frac{\sqrt{3}}{3}$x=$\frac{\sqrt{3}}{6}$x²，
∵△APD的面積為$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∴y=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{6}$x²=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∴x=-$\sqrt{15}$（舍）或x=$\sqrt{15}$，
由（2）知，4.5＜x＜6時，y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x²-6x），
∴$\frac{5\sqrt{3}}{2}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x²-6x），
∴x=1（舍）或x=5，
即：x為$\sqrt{15}$或5時，△APD的面積為$\frac{5\sqrt{3}}{2}$．

點評 此題是三角形綜合題，主要考查了含30°的直角三角形的性質，相似三角形的判定和性質，銳角三角函數，三角形的面積公式，解（2）的關鍵是確定出BE和PD，解（3）的關鍵是求出點P在AB邊上時，△APD的面積的函數關系式，是一道中等難度的中考�？碱}．