Question

3．如圖，△ABC和△CEF是兩個大小不等的等邊三角形，且有一個公共頂點C，連結AF和BE，如果直線EB交直線AF于點D．
（1）求證：AF=BE；
（2）當△CEF繞點C旋轉(zhuǎn)時，∠ADB的大小是否發(fā)生變化？（直接給出答案）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題中所給的等邊三角形的條件，兩對邊對應相等，有一個角都等于60°-∠FBC，利用SAS證AF和BE所在的三角形全等即可；
（2）∠ADB的大不變化，由（1）中的全等三角形可知∠AFC=∠BEC，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及三角形外角和定理可求出∠ADB=120°，是一個定值，即不發(fā)生變化．

解答 （1）證明：在△AFC和△BEC中，
∵△ABC和△CEF是等邊三角形，
∴AC=BC，CF=CE，∠ACB=∠ECF=60°，
∴∠ACF=60°-∠BCF，∠BCE=60°-∠BCF，
∴∠ACF=∠BCE，
在△AFC與△BEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACF=∠BCE}\\{CF=CE}\end{array}\right.$，
∴△AFC≌△BEC（SAS），
∴AF=BE；
（2）∠ADB的大不變化，理由如下：
∵△AFC≌△BEC，
∴∠AFC=∠BEC，
∴∠AFC+∠FED=∠BEC+∠EFD=60°
∵∠ADB=∠DFE+∠FED，
∴∠ADB=∠AFC+60°+∠FED=120°，
即∠ADB的大不變化．

點評 本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后圖形的大小和形狀不變，只是位置發(fā)生了變化．證兩條線段相等，通常是證這兩條線段所在的兩個三角形全等，類似的題，證明方法基本不變．