Question

3．如圖，某天然氣公司的主輸氣管道從A市的北偏東60°方向直線延伸，測繪員在A處測得要安裝天然氣的M小區(qū)在A市北偏東30°方向，測繪員沿主輸氣管道步行2000米到達C處，測得小區(qū)M位于C的北偏西60°方向，
（1）∠MAC=30°，∠MCA=60°；
（2）請你在主輸氣管道上尋找支管道連接點N，使到該小區(qū)鋪設的管道最短，并求MN的長．

Answer 1

分析 （1）作MT∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)及方向角的定義得出∠5=∠2=30°，∠TMC=∠1=60°，那么∠AMC=30°+60°=90°．在Rt△ACM中，根據(jù)方向角的定義及角的和差得出∠3=∠BAC-∠2=30°，即∠MAC=30°，再由直角三角形兩銳角互余求出∠MCA=60°；
（2）過M作MN⊥AC交于N點，即MN最短，先解Rt△ACM，求出CM=$\frac{1}{2}$AC=1000米，再解Rt△NCM，求出CN=$\frac{1}{2}$CM=500米，MN=$\sqrt{3}$CN=500$\sqrt{3}$米．

解答 解：（1）作MT∥AB．
根據(jù)題意，得∠2=30°，∠BAC=60°，AC=2000米，∠1=60°．
∵MT∥AB，
∴∠5=∠2=30°，∠TMC=∠1=60°，
∴∠AMC=30°+60°=90°．
在Rt△ACM中，∵∠3=∠BAC-∠2=60°-30°=30°，
即∠MAC=30°，
∴∠MCA=90°-∠3=60°；

（2）過M作MN⊥AC，垂足為N，此時MN最�。�
在Rt△ACM中，∵∠3=30°，
∴CM=$\frac{1}{2}$AC=1000米，
在Rt△NCM中，∵∠CMN=30°，
∴CN=$\frac{1}{2}$CM=500米，MN=$\sqrt{3}$CN=500$\sqrt{3}$米．
故答案為30°，60°．

點評 此題考查了解直角三角形的應用-方向角問題，其中涉及到平行線的性質(zhì)，方向角的定義，直角三角形的性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，含30度角的直角三角形三邊的關(guān)系等知識，難度不大．正確作出高線，證明△AMC是直角三角形是解題的關(guān)鍵．