Question

16．已知：如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是邊AD、BC的中點，E、F分別是線段BM、CM的中點．
（1）求證：BM=CM；
（2）判斷四邊形MENF是什么特殊四邊形，并證明你的結(jié)論；
（3）當AD：AB=2：1時，四邊形MENF是正方形（只寫結(jié)論，不需證明）．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質(zhì)得出∠A=∠D=90°，AB=DC，由SAS證明△ABM≌△DCM，得出對應邊相等即可；
（2）證明EN是△BCM的中位線，得出EN=$\frac{1}{2}$CM=FM，EN∥FM，證出四邊形MENF是平行四邊形，同理：NF是△BCM的中位線，得出NF=$\frac{1}{2}$BM，證出EN=NF，即可得出結(jié)論；
（3）證明△ABM是等腰直角三角形，得出∠AMB=45°，同理∠DMC=45°，得出∠EMF=90°，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AB=DC，
∵M是AD的中點，
∴AM=DM，
在△ABM和△DCM中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=DC}&{\;}\\{∠A=∠D}&{\;}\\{AM=DM}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△DCM（SAS），
∴BM=CM；
（2）解：四邊形MENF是菱形；理由如下：
∵E、N、F分別是線段BM、BC、CM的中點，
∴EN是△BCM的中位線，
∴EN=$\frac{1}{2}$CM=FM，EN∥FM，
∴四邊形MENF是平行四邊形，
同理：NF是△BCM的中位線，
∴NF=$\frac{1}{2}$BM，
∵BM=CM，
∴EN=NF，
∴四邊形MENF是菱形；
（3）解：當AD：AB=2：1時，四邊形MENF是正方形；理由如下：
∵AD：AB=2：1，M是AD的中點，
∴AB=AM，
∴△ABM是等腰直角三角形，
∴∠AMB=45°，
同理：∠DMC=45°，
∴∠EMF=180°-45°-45°=90°，
由（2）得：四邊形MENF是菱形，
∴四邊形MENF是正方形；
故答案為：2：1．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，并能進行推理論證是解決問題的關鍵．