Question

已知：在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是BC、AD、BD、AC的中點．
①求證：EF與GH互相平分；
②當(dāng)四邊形ABCD的邊滿足

 

 條件時，EF⊥GH．

Answer 1

考點：中點四邊形

專題：證明題

分析：（1）連接GE、GF、HF、EH，根據(jù)三角形的中位線定理即可證得EG=FH/GF=EH，則四邊形EFGH是平行四邊形，
利用平行四邊形的性質(zhì)即可證得；
（2）EF⊥GH時能得到四邊形GFHE四邊相等，從而得到四邊形ABCD的四邊相等．

解答：解：（1）連接GE、GF、HF、EH．
∵E、G分別是AD、BD的中點，
∴EG=

1

2

CD，
同理FH=

1

2

CD，F(xiàn)G=

1

2

AB，EH=

1

2

AB
∴EG=FH、GF=EH
∴四邊形EFGH是平行四邊形．
∴EF與GH互相平分；
（2）當(dāng)EF⊥GH時四邊形EFGH是菱形，
此時GF=FH=HE=EG，
∵EG=

1

2

CD，F(xiàn)H=

1

2

CD，F(xiàn)G=

1

2

AB，EH=

1

2

AB
∴AB=BC=CD=DA，
∴當(dāng)四邊形ABCD的邊滿足條件AB=BC=CD=DA時，EF⊥GH．

點評：本題考查了三角形的中位線定理，菱形的判定與性質(zhì)，正確證明四邊形EFGH是菱形是關(guān)鍵．