Question

1．如圖，拋物線y=ax²+bx-$\frac{5}{3}$經(jīng)過點A（1，0）和點B（5，0），與y軸交于點C．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）以點A為圓心，作與直線BC相切的⊙A，求⊙A的半徑；
（3）在直線BC上方的拋物線上任取一點P，連接PB，PC，請問：△PBC的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值的此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）把A、B兩點分別代入拋物線解析可求得a和b，可求得拋物線解析式；
（2）過A作AD⊥BC于點D，則AD為⊙A的半徑，由條件可證明△ABD∽△CBO，利用相似三角形的性質(zhì)可求得AD的長，可求得半徑；
（3）由待定系數(shù)法可求得直線BC解析式，過P作PQ∥y軸，交直線BC于點Q，交x軸于點E，可設(shè)出P、Q的坐標，可表示出△PQC和△PQB的面積，可表示出△PBC的面積，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值，容易求得P點坐標．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx-$\frac{5}{3}$經(jīng)過點A（1，0）和點B（5，0），
∴把A、B兩點坐標代入可得$\left\{\begin{array}{l}{a+b-\frac{5}{3}=0}\\{25a+5b-\frac{5}{3}=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-$\frac{1}{3}$x²+2x-$\frac{5}{3}$；
（2）過A作AD⊥BC于點D，如圖1，

∵⊙A與BC相切，
∴AD為⊙A的半徑，
由（1）可知C（0，-$\frac{5}{3}$），且A（1，0），B（5，0），
∴OB=5，AB=OB-OA=4，OC=$\frac{5}{3}$，
在Rt△OBC中，由勾股定理可得BC=$\sqrt{O{C}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{5}{3}）^{2}+{5}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{10}}{3}$，
∵∠ADB=∠BOC=90°，∠ABD=∠CBO，
∴△ABD∽△CBO，
∴$\frac{AD}{OC}$=$\frac{AB}{BC}$，即$\frac{AD}{\frac{5}{3}}$=$\frac{4}{\frac{5\sqrt{10}}{3}}$，解得AD=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，
即⊙A的半徑為$\frac{2\sqrt{10}}{5}$；
（3）∵C（0，-$\frac{5}{3}$），
∴可設(shè)直線BC解析式為y=kx-$\frac{5}{3}$，
把B點坐標代入可求得k=$\frac{1}{3}$，
∴直線BC的解析式為y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{5}{3}$，
過P作PQ∥y軸，交直線BC于點Q，交x軸于點E，如圖2，

設(shè)P（x，-$\frac{1}{3}$x²+2x-$\frac{5}{3}$），則Q（x，$\frac{1}{3}$x-$\frac{5}{3}$），
∴PQ=（-$\frac{1}{3}$x²+2x-$\frac{5}{3}$）-（$\frac{1}{3}$x-$\frac{5}{3}$）=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{5}{3}$x=-$\frac{1}{3}$（x-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{25}{12}$，
∴S_△PBC=S_△PCQ+S_△PBQ=$\frac{1}{2}$PQ•OE+$\frac{1}{2}$PQ•BE=$\frac{1}{2}$PQ（OE+BE）=$\frac{1}{2}$PQ•OB=$\frac{5}{2}$PQ=-$\frac{5}{6}$（x-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{125}{24}$，
∴當x=$\frac{5}{2}$時，S_△PBC有最大值$\frac{125}{24}$，此時P點坐標為（$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{4}$），
∴當P點坐標為（$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{4}$）時，△PBC的面積有最大值．

點評 本題主要考查二次函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法、切線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識．在（1）中注意待定系數(shù)法的應用步驟，在（2）中確定出⊙A的半徑是解題的關(guān)鍵，在（3）中用P點坐標表示出△PBC的面積是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多，計算量大，綜合性較強．