Question

如圖，五邊形ABCDE的每條邊所在直線沿該邊垂直方向向外平移4個單位，得到新的五邊形A′B′C′D′E′．
（1）圖中5塊陰影部分即四邊形AHA′G、BFB′P、COC′N、DMD′L、EKE′I能拼成一個五邊形嗎？說明理由；
（2）證明五邊形A′B′C′D′E′的周長比五邊形ABCD正的周長至少增加25個單位．

Answer 1

考點：平移的性質(zhì),多邊形內(nèi)角與外角

專題：計算題

分析：（1）根據(jù)平移的性質(zhì)得BF=AG=AH=EJ=EK=DL=DM=CN=CO=BP=4，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和得到∠A′+∠GAH=180°，∠B′+∠PBF=180°，∠C′+∠NCO=180°，∠D′+∠MDL=180°，∠E′+∠KEJ=180°，根據(jù)五邊形內(nèi)角和得∠A′+∠B′+∠C′+∠D′+∠E′=（5-2）×180°=3×180°，則∠GAH+∠PBF+∠NCO+∠MDL+∠KEJ=360°，于是可判斷5塊陰影部分即四邊形AHA′G、BFB′P、COC′N、DMD′L、EKE′I能拼成一個五邊；
（2）先計算出平移前后兩和五邊形的周長之差為A′H+A′G+B′F+B′P+C′O+C′N+D′M+D′L+E′K+E′J，此周長的差恰好為5塊陰影部分所拼成一個五邊形的周長，由于5塊陰影部分所拼成五邊形有一個半徑為4的內(nèi)切圓，所以此五邊形的周長大于內(nèi)切圓的周長，即此五邊形的周長＞8π＞8×3.14＞25，
所以五邊形A′B′C′D′E′的周長比五邊形ABCD正的周長至少增加25個單位．

解答：（1）解：5塊陰影部分能拼成一個五邊形．理由如下：
∵五邊形ABCDE的每條邊所在直線沿該邊垂直方向向外平移4個單位，
∴BF=AG=AH=EJ=EK=DL=DM=CN=CO=BP=4，
∠A′+∠GAH=180°，∠B′+∠PBF=180°，∠C′+∠NCO=180°，∠D′+∠MDL=180°，∠E′+∠KEJ=180°，
而∠A′+∠B′+∠C′+∠D′+∠E′=（5-2）×180°=3×180°，
∴∠GAH+∠PBF+∠NCO+∠MDL+∠KEJ=2×180°=360°，
∴5塊陰影部分即四邊形AHA′G、BFB′P、COC′N、DMD′L、EKE′I能拼成一個五邊；
（2）證明：∵五邊形A′B′C′D′E′的周長-五邊形ABCD正的周長=A′H+A′G+B′F+B′P+C′O+C′N+D′M+D′L+E′K+E′J，
∴它們的周長的差為5塊陰影部分即四邊形AHA′G、BFB′P、COC′N、DMD′L、EKE′I所拼成一個五邊形的周長，
∵5塊陰影部分所拼成五邊形有一個半徑為4的內(nèi)切圓，
∴此五邊形的周長＞2π•4=8π，即此五邊形的周長＞8×3.14＞25，
∴五邊形A′B′C′D′E′的周長比五邊形ABCD正的周長至少增加25個單位．

點評：本題考查了平移的性質(zhì)：把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同；新圖形中的每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這兩個點是對應(yīng)點．連接各組對應(yīng)點的線段平行且相等．