Question

17．如圖，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，將矩形ABCD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形A′B′C′D′，B′C交AD于E，A′D′交AD延長線于F，當(dāng)E為AF中點(diǎn)時(shí)，△CEF的面積是$\frac{75}{4}$．

Answer 1

分析 設(shè)ED=x，則AE=8-x，DF=8-2x，根據(jù)AAS證得△EGF≌△CDE，得出ED=GF=x，從而求得B′E=AG=x，則CE=8-x，在RT△EDC中，根據(jù)勾股定理求得x的值，即可求得EF的長，然后根據(jù)三角形面積公式求得即可．

解答 解：作EG⊥A′D′于G，則EG=A′B′=AB=6，B′E=A′G，
設(shè)ED=x，則AE=8-x，
∵E為AF中點(diǎn)，
∴DF=EF-DE=8-x-x=8-2x，
∴D′F=8-2x，
∴A′F=2x，
∵A′D′∥B′C，
∴∠A′FE=∠DEC，
在△EGF和△CDE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠DEC}\\{∠EGF=∠EDC=90°}\\{EG=CD}\end{array}\right.$
∴△EGF≌△CDE（AAS），
∴ED=GF=x，
∴B′E=AG=x，
∴CE=8-x，
在RT△EDC中，CE²=DE²+CD²，
∴（8-x）²=x²+6²，解得x=$\frac{7}{4}$，
∴EF=AE=8-x=$\frac{25}{4}$，
∴△CEF的面積是：$\frac{1}{2}$EF•CD=$\frac{1}{2}×$$\frac{25}{4}$×6=$\frac{75}{4}$，
故答案為$\frac{75}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．