Question

20．用換元法解下列方程：
（1）x²-x+1=$\frac{6}{{x}^{2}-x}$．
（2）$\frac{y+1}{{y}^{2}}$-$\frac{2{y}^{2}}{y+1}$=1．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)方程特點設(shè)y=x²-x，則原方程可化為y+1=$\frac{6}{y}$，解方程求得y的值，再代入x²-x=y求出x即可；
（2）根據(jù)方程特點設(shè)$\frac{y+1}{{y}^{2}}$=x，則原方程可化為x-$\frac{2}{x}$=1，解方程求得x的值，再代入$\frac{y+1}{{y}^{2}}$=x求出y即可．

解答 解：（1）設(shè)y=x²-x，則原方程可化為y+1=$\frac{6}{y}$，
解得y₁=2，y₂=-3．
當(dāng)y₁=2時，x²-x=2，解得x₁=2，x₂=-1；
當(dāng)y₂=-3時，x²-x=-3，x無實數(shù)根；
經(jīng)檢驗x₁=2，x₂=-1都是原方程的根，
所以原方程的根是x₁=2，x₂=-1；

（2）設(shè)$\frac{y+1}{{y}^{2}}$=x，則原方程可化為x-$\frac{2}{x}$=1，
解得x₁=2，x₂=-1．
當(dāng)x₁=2時，$\frac{y+1}{{y}^{2}}$=2，解得y₁=1，y₂=-$\frac{1}{2}$；
當(dāng)x₂=-1時，$\frac{y+1}{{y}^{2}}$=-1，y無實數(shù)根；
經(jīng)檢驗y₁=1，y₂=-$\frac{1}{2}$都是原方程的根，
所以原方程的根是y₁=1，y₂=-$\frac{1}{2}$．

點評 此題考查了換元法解分式方程，用換元法解分式方程是常用方法之一，它能夠把一些分式方程化繁為簡，化難為易，對此應(yīng)注意總結(jié)能用換元法解的分式方程的特點，尋找解題技巧．