Question

4．如圖，在△ABC中，AD是角平分線，AD的垂直平分線分別交AB、AC于點E、F．
（1）求證：四邊形AEDF是菱形；
（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形AEDF是正方形？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由∠BAD=∠CAD，AO=AO，∠AOE=∠AOF=90°證△AEO≌△AFO，推出EO=FO，得出平行四邊形AEDF，根據(jù)EF⊥AD得出菱形AEDF；
（2）根據(jù)有一個角是直角的菱形是正方形可得∠BAC=90°時，四邊形AEDF是正方形．

解答 證明：（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
又∵EF⊥AD，
∴∠AOE=∠AOF=90°
∵在△AEO和△AFO中$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠FAO}\\{AO=AO}\\{∠AOE=∠AOF}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△AFO（ASA），
∴EO=FO，
∵EF垂直平分AD，
∴EF、AD相互平分，
∴四邊形AEDF是平行四邊形
又EF⊥AD，
∴平行四邊形AEDF為菱形；

（2）當△ABC中∠BAC=90°時，四邊形AEDF是正方形；
∵∠BAC=90°，
∴四邊形AEDF是正方形（有一個角是直角的菱形是正方形）．

點評 此題主要考查了菱形的判定和正方形的判定，關鍵是掌握鄰邊相等的平行四邊形是菱形，有一個角是直角的菱形是正方形．