Question

18．如圖所示，已知OABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片，O為坐標(biāo)原點，點A在x軸上，點C在y軸上，且OA=15，OC=9，在邊AB上選取一點D，將△AOD沿OD翻折，使點A落在BC邊上，記為點E．
（Ⅰ）求點E和點D的坐標(biāo)；
（Ⅱ）在x軸、y軸上是否分別存在點M、N，使四邊形MNED的周長最�。咳绻�存在，求出點M、N的坐標(biāo)及四邊形MNED周長的最小值；如果不存在，請說明理由．
（Ⅲ）設(shè)點P在x軸上，以點O、E、P為頂點的三角形是等腰三角形，請直接寫出所有滿足條件的點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由矩形的性質(zhì)和勾股定理計算得到點D，E的坐標(biāo)；
（Ⅱ）做出點D關(guān)于x軸的對稱點D′，點E關(guān)于y軸的對稱點E′，連接點D′E′交x，y軸于M，N求找到了周長最小的位置；
（Ⅲ）分四種情況分別根據(jù)各自的特點，進(jìn)行簡單的計算即可．

解答 解：（Ⅰ）依題意可OE=OA=15，AD=DE
在Rt△OCE中，CE=12，
∴E（12，9），
又∵BE=BC-CE=3，
在Rt△BED中，DE²=BE²+BD²，
即：DE²=BE²+（9-DE）²
∴DE=AD=5，
∴D（15，5）
（Ⅱ）存在                                         
如圖，

作點D關(guān)于x軸的對稱點D′（15，-5），E關(guān)于y軸的對稱點E′（-12，9），
連接點D′E′，分別交x軸、y軸于點M、N，則點M、N即為所求，
設(shè)直線D′E′的解析式為y=kx+b，將D′（15，-5）、E′（-12，9）代入得k=-$\frac{14}{27}$，b=$\frac{25}{9}$
∴直線D′E′的解析式為 y=-$\frac{14}{27}$x+$\frac{25}{9}$  
令x=0，得y=$\frac{25}{9}$  
令y=0，得x=$\frac{75}{14}$
∴M（$\frac{75}{14}$，0）、N（0，$\frac{25}{9}$），
在Rt△BE′D′中，D′E′=5$\sqrt{37}$
∴四邊形MNED周長最小值=DE+EN+MN+MD=5+5$\sqrt{37}$
（Ⅲ）當(dāng)在x軸正半軸上，
OP₁=OE=15時，點P₁與A重合，
∴P₁（15，0），
當(dāng)在x軸負(fù)半軸上時，OP₂=OE=15時，
P₂（-15，0），
如圖，

當(dāng)OE=EP₃時，作EH⊥OA，
∴OH=CE=HP₃=12，
∴P₃（24，0），
當(dāng)OP₄=EP₄時，由勾股定理得，P₄H²+EH²=P₄E²，
∴（12-P₄E）²+81=P₄E²，
∴OP₄=EP₄=$\frac{75}{8}$，
∴P₄（$\frac{75}{8}$，0）．
滿足條件的P點有四個，分別是P₁（15，0），P₂（-15，0），P₃（24，0），
P₄（$\frac{75}{8}$，0）．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，對折，勾股定理，待定系數(shù)法，軸對稱，解本題的關(guān)鍵是勾股定理的靈活應(yīng)用．