Question

20．如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，過D作⊙O的切線交AC于E，求證：DE⊥AC．

Answer 1

分析 連接AD、OD．先證明∠ADB=90°，∠EDO=90°，從而可證明∠EDA=∠ODB，由OD=OB可得到∠EDA=∠OBD，由等腰三角形的性質(zhì)可知∠CAD=∠BAD，故此∠EAD+∠EDA=90°，由三角形的內(nèi)角和定理可知∠DEA=90°，于是可得到DE⊥AC．

解答 證明：連接AD、OD．

∵AB是圓O的直徑，
∴∠ADB=90°．
∴∠ADO+∠ODB=90°．
∵DE是圓O的切線，
∴OD⊥DE．
∴∠EDA+∠ADO=90°．
∴∠EDA=∠ODB．
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD．
∴∠EDA=∠OBD．
∵AC=AB，AD⊥BC，
∴∠CAD=∠BAD．
∵∠DBA+∠DAB=90°，
∴∠EAD+∠EDA=90°．
∴∠DEA=90°．
∴DE⊥AC．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是圓周角定理、切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定、三角形的內(nèi)角和定理，掌握此類問題的輔助線的作法是解題的關(guān)鍵．