Question

如圖，正方形OA₁B₁C₁的邊長為2，以O(shè)為圓心，OA₁為半徑作弧A₁C₁交OB₁于點B₂，設(shè)弧A₁C₁與邊A₁B₁，B₁C₁圍成的陰影部分的面積為S₁．然后以O(shè)B₂為對角線作正方形OA₂B₂C₂，又以O(shè)為圓心、OA₂為半徑作弧A₂C₂交OB₂于點B₃，設(shè)弧A₂C₂與邊A₂B₂、B₂C₂圍成的陰影部分的面積為S₂，…，按此規(guī)律繼續(xù)作下去，設(shè)弧A_nC_n，B_nC_n圍成的陰影部分的面積為S_n，設(shè)S=S₁+S₂+S₂+…+S_n，則S=

 

．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì)

專題：規(guī)律型

分析：利用正方形的面積和扇形的面積表示出S₁，再根據(jù)正方形的邊長等于對角線的

2

2

倍求出OA₂，然后求出S₂，同理求出S₃，…最后相加計算即可得解．

解答：解：∵正方形OA₁B₁C₁的邊長為2，
∴S₁=2²-

1

4

•π•2²=4-π，
∵正方形OA₂B₂C₂的邊長為OB₂，
∴OA₂=

2

2

×2=

2

，
∴S₂=（

2

）²-

1

4

•π•（

2

）²=

1

2

（4-π），
同理，S₃=

1

4

（4-π），
…，
S_n=

1

2n-1

（4-π），
∴S=S₁+S₂+S₂+…+S_n
=（4-π）+

1

2

（4-π）+

1

4

（4-π）+…+

1

2n-1

（4-π）
=（4-π）（1+

1

2

+

1

4

+…+

1

2n-1

）
=（2-

1

2n-1

）（4-π）．
故答案為：（2-

1

2n-1

）（4-π）．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，扇形的面積，熟記性質(zhì)與公式并求出后一個陰影部分的面積是前一個陰影部分的面積的

1

2

是解題的關(guān)鍵．