Question

2．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，AD為△ABC角平分線．
（1）用圓規(guī)在AB上作一點P，滿足DP⊥AB；
（2）求：CD的長度．

Answer 1

分析 （1）過點D作AB的垂線，垂足為P即可；
（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知∠CAD=∠BAD，利用AAS定理可知△ACD≌APD．在在Rt△ABC中根據(jù)勾股定理得出AB的長，設DP為x，則DP=x，BD=3-x，在Rt△DPB中，利用勾股定理即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖，點P即為所求；

（2）∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD．
又∵DC⊥AC、DP⊥AB，
∴∠C=∠APD．
在△ACD與APD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠APD}\\{∠CAD=∠BAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌APD（AAS）．
∴AP=AC=4，CD=PD．
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=5．
設DP為x，則DP=x，BD=3-x，在Rt△DPB中，∠DPB=90°，
∴DP²+PB²=DB²，即，x²+1²=（3-x）²，
解得x=$\frac{4}{3}$，
∴CD=DP=$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查的是作圖-基本作圖，熟知角平分線的性質(zhì)是解答此題的關鍵．