Question

8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（2，3）、B（6，3），連接AB．如果對(duì)于平面內(nèi)一點(diǎn)P，線段AB上都存在點(diǎn)Q，使得PQ≤1，那么稱點(diǎn)P是線段AB的“附近點(diǎn)”．
（1）請(qǐng)判斷點(diǎn)D（4.5，2.5）是否是線段AB的“附近點(diǎn)”；
（2）如果點(diǎn)H （m，n）在一次函數(shù)$y=\frac{6}{5}x-2$的圖象上，且是線段AB的“附近點(diǎn)”，求m的取值范圍；
（3）如果一次函數(shù)y=x+b的圖象上至少存在一個(gè)“附近點(diǎn)”，請(qǐng)直接寫出b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）點(diǎn)P是線段AB的“附近點(diǎn)”的定義即可判斷．
（2）首先求出直線$y=\frac{6}{5}x-2$與線段AB交于$（{\frac{25}{6}，3}）$，分①當(dāng)$m≥\frac{25}{6}$時(shí)，②當(dāng)$m≤\frac{25}{6}$時(shí)，列出不等式即可解決問題．
（3）如圖，在RT△AMN中，AM=1，∠MAN=45°，則點(diǎn)M坐標(biāo)（2-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，3+$\frac{\sqrt{2}}{2}$），在RT△BEF中，BE=1，∠EBF=45°，則點(diǎn)E坐標(biāo)（6+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，3-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
分別求出直線經(jīng)過點(diǎn)M、點(diǎn)E時(shí)的b的值，即可解決問題．

解答 解：（1）∵點(diǎn)D到線段AB的距離是0.5，
∴0.5＜1，
∴點(diǎn)D（4.5，2.5）是否是線段AB的“附近點(diǎn)”； 

（2）∵點(diǎn)H（m，n）是線段AB的“附近點(diǎn)”，點(diǎn)H（m，n）在直線$y=\frac{6}{5}x-2$上，
∴$n=\frac{6}{5}m-2$；
直線$y=\frac{6}{5}x-2$與線段AB交于$（{\frac{25}{6}，3}）$．
①當(dāng)$m≥\frac{25}{6}$時(shí)，有$n=\frac{6}{5}m-2$≥3，
又AB∥x軸，∴此時(shí)點(diǎn)H（m，n）到線段AB的距離是n-3，
∴0≤n-3≤1，∴$\frac{25}{6}≤m≤5$．
②當(dāng)$m≤\frac{25}{6}$時(shí)，有$n=\frac{6}{5}m-2$≤3，
又AB∥x軸，∴此時(shí)點(diǎn)H（m，n）到線段AB的距離是3-n，
∴0≤3-n≤1，∴$\frac{10}{3}≤m≤\frac{25}{6}$，
綜上所述，$\frac{10}{3}≤m≤5$．

（3）如圖，在RT△AMN中，AM=1，∠MAN=45°，則點(diǎn)M坐標(biāo)（2-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，3+$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
在RT△BEF中，BE=1，∠EBF=45°，則點(diǎn)E坐標(biāo)（6+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，3-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）

當(dāng)直線y=x+b經(jīng)過點(diǎn)M時(shí)，b=1+$\sqrt{2}$，
當(dāng)直線y=x+b經(jīng)過點(diǎn)E時(shí)，b=-3-$\sqrt{2}$，
∴-3-$\sqrt{2}$≤b≤1+$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查一次函數(shù)綜合題、線段AB的“附近點(diǎn)”的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是連接題意，學(xué)會(huì)分類討論，學(xué)會(huì)利用特殊點(diǎn)解決問題，屬于中考?jí)狠S題．