Question

3．問(wèn)題情境：（1）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，H分別在BC，AB上，若AE⊥DH于點(diǎn)O，求證：AE=DH；
類比探究：（2）如圖2，在正方形ABCD中，點(diǎn)H，E，G，F(xiàn)分別在AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG于點(diǎn)O，探究線段EF與HG的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
綜合運(yùn)用：（3）在（2）問(wèn)條件下，HF∥GE，如圖3所示，已知BE=EC=2，EO=2FO，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質(zhì)可得AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH．又由∠ADO+∠OAD=90°，可證得∠HAO=∠ADO，繼而證得△ABE≌△DAH，可得AE=DH；
（2）將FE平移到AM處，則AM∥EF，AM=EF，將GH平移到DN處，則DN∥GH，DN=GH．根據(jù)（1）的結(jié)論得AM=DN，所以EF=GH；
（3）過(guò)點(diǎn)F作FP⊥BC于點(diǎn)P，易證得△AHF∽△CGE，即可求得EC，AF的長(zhǎng)，繼而求得EF的長(zhǎng)，然后由平行線分線段成比例定理，求得$\frac{FO}{FE}$=$\frac{HO}{HG}$，然后分別求出△FOH與△EOG的面積，即可求得答案．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH．
∴∠HAO+∠OAD=90°．
∵AE⊥DH，
∴∠ADO+∠OAD=90°．
∴∠HAO=∠ADO，
在△ABE和△DAH中
$\left\{\begin{array}{l}{∠HAO=∠DAH}\\{AB=AD}\\{∠B=∠HAD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DAH（ASA），
∴AE=DH．

（2）解：EF=GH．
理由：如圖2，將FE平移到AM處，則AM∥EF，AM=EF．
將GH平移到DN處，則DN∥GH，DN=GH．
∵EF⊥GH，
∴AM⊥DN，
根據(jù)（1）的結(jié)論得AM=DN，
∴EF=GH；

（3）解：如圖3，過(guò)點(diǎn)F作FP⊥BC于點(diǎn)P，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴∠AHO=∠CGO，
∵FH∥EG，
∴∠FHO=∠EGO，
∴∠AHF=∠CGE，
∴△AHF∽△CGE，
∴$\frac{AF}{CE}$=$\frac{FH}{EG}$=$\frac{FO}{OE}$=$\frac{1}{2}$，
∵EC=2，
∴AF=1，
∴在Rt△FPE中，EF=$\sqrt{{4}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
∵FH∥EG，
∴$\frac{FO}{FE}$=$\frac{HO}{HG}$，
由（2）得：HG=EF，
∴FO=HO，
∴S_△FOH=$\frac{1}{2}$FO²=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{3}$EF）²=$\frac{17}{18}$，S_△EOG=$\frac{1}{2}$EO²=$\frac{1}{2}$×（$\frac{2}{3}$EF）²=$\frac{68}{18}$，
∴陰影部分的面積=$\frac{17}{18}$+$\frac{68}{18}$=$\frac{85}{18}$．
∴陰影部分的面積為：$\frac{85}{18}$．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于四邊形的綜合題．考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．