Question

1．已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，⊙O是經(jīng)過A、B、C三點的圓，CD與⊙O相切于點C，點P是$\widehat{BC}$上的一個動點（點P不與B、C點重合），連接PA、PB、PC．
（1）求證：CA=CB；
（2）①點P滿足當AC=AP時，△CPA≌△ABC，請說明理由；
②當∠ABC的度數(shù)為60時，四邊形ABCD是菱形．

Answer 1

分析 （1）作CE⊥AB于E，由于CA=CB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得CE為AB的垂直平分線，則點O在CE上，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得AB∥CD，
（2）當AC=AP時，△CPA≌△ABC．由于AC=BC，AC=AP，則∠ABC=∠BAC，∠APC=∠ACP，根據(jù)圓周角定理得∠ABC=∠APC，則∠BAC=∠ACP，加上AC=CA，即可得到△CPA≌△ABC；
（3）如圖2，連接OC，AC，OB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BCD=120°，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OCD=90°，推出BO垂直平分AC，即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：
連接CO并延長交AB于E，如圖，
∵CD與⊙O相切于點C，
∴CE⊥CD，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴CE⊥AB，
∴AE=BE，
∴BC=AC；

（2）解：當AC=AP時，△CPA≌△ABC．
證明如下：∵AC=BC，AC=AP，
∴∠ABC=∠BAC，∠APC=∠ACP，
∵∠ABC=∠APC，
∴∠BAC=∠ACP，
在△CPA與△ABC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠APC=∠ABC}\\{∠ACP=∠CAB}\\{AC=CA}\end{array}\right.$，
∴△CPA≌△ABC；
故答案為：AC=AP；

（3）解：當∠ABC的度數(shù)為60°時，四邊形ABCD是菱形，
如圖2，連接OC，AC，OB，
∵∠ABC=60°，
∴∠BCD=120°，
∵CD與⊙O相切于點C，
∴∠OCD=90°，
∴∠BCO=30°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=30°，
∴∠ABO=30°，
∴BO垂直平分AC，
∴AB=BC，
∴四邊形ABCD是菱形．
故答案為：60°．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)，經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)．