Question

3．如圖，⊙O的直徑AB為10cm，弦BC為5cm，D、E分別是∠ACB的平分線與⊙O，AB的交點(diǎn)，P為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且PC=PE．
（1）求AC、AD的長(zhǎng)；
（2）試判斷直線PC與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）連接BD，利用直徑所對(duì)的圓周角是直角得兩個(gè)直角三角形，再由角平分線得：∠ACD=∠DCB=45°，
由同弧所對(duì)的圓周角相等可知：△ADB是等腰直角三角形，利用勾股定理可以求出直角邊AD=5$\sqrt{2}$，AC的長(zhǎng)也是利用勾股定理列式求得；
（2）連接半徑OC，證明垂直即可；利用直角三角形中一直角邊是斜邊的一半得：這條直角邊所對(duì)的銳角為30°，依次求得∠COB、∠CEP、∠PCE的度數(shù)，最后求得∠OCP=90°，結(jié)論得出．

解答 解：（1）連接BD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=∠ADB=90°'，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠DCB=45°，
∴∠ABD=∠ACD=45°，∠DAB=∠DCB=45°，
∴△ADB是等腰直角三角形，
∵AB=10，
∴AD=BD=$\frac{10}{\sqrt{2}}$=5$\sqrt{2}$，
在Rt△ACB中，AB=10，BC=5，
∴AC=$\sqrt{1{0}^{2}-{5}^{2}}$=5$\sqrt{3}$，
答：AC=5$\sqrt{3}$，AD=5$\sqrt{2}$；
（2）直線PC與⊙O相切，理由是：
連接OC，
在Rt△ACB中，AB=10，BC=5，
∴∠BAC=30°，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC=30°，
∴∠COB=60°，
∵∠ACD=45°，
∴∠OCD=45°-30°=15°，
∴∠CEP=∠COB+∠OCD=15°+60°=75°，
∵PC=PE，
∴∠PCE=∠CEP=75°，
∴∠OCP=∠OCD+∠ECP=15°+75°=90°，
∴直線PC與⊙O相切．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，直線和圓的位置關(guān)系有三種：相離、相切、相交；重點(diǎn)是相切，本題是常考題型，在判斷直線和圓的位置關(guān)系時(shí)，首先要看直線與圓有幾個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)確定其位置關(guān)系，在證明直線和圓相切時(shí)有兩種方法：①有半徑，證明垂直，②有垂直，證半徑；本題屬于第①種情況．