Question

1．如圖，在平行四邊形ABCD中，以點A為圓心，AB長為半徑畫弧交AD于點F，再分別以點B、F為圓心，大于$\frac{1}{2}BF$長為半徑畫弧，兩弧交于一點P，連接AP并延長交BC于點E，連接EF． 
（1）四邊形ABEF是B
A．矩形  B．菱形   C．正方形    D．無法確定
（2）若四邊形ABEF的周長為40，AE，BF相交于點O，且BF=10，試求
①∠ABC的度數(shù)；
②AE的長．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形得出AD∥BC，再由AB=AF即可得出結(jié)論；
（2）①先根據(jù)菱形的周長求出其邊長，再由BF=10得出△ABF是等邊三角形，據(jù)此可得出結(jié)論；
②先根據(jù)勾股定理求出AO的長，再由菱形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC．
∵AB=AF，
∴四邊形ABEF是菱形．
故答案為：B；

（2）①∵四邊形ABEF是菱形，且周長為40，
∴AB=AF=40÷4=10．
∵BF=10，
∴△ABF是等邊三角形，
∴∠ABF=60°，
∴∠ABC=2∠ABF=120°；
②∵AF=10，
∴OF=5．
∵AE垂直平分BF，
∴AO=$\sqrt{A{F}^{2}-F{O}^{2}}$=5$\sqrt{3}$，
∴AE=2AO=10$\sqrt{3}$．

點評 本題考查的是作圖-基本作圖，熟知角平分線的作法及菱形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．