Question

15．如圖，△ABC中，∠B，∠C的平分線交于O點(diǎn)，過O點(diǎn)作EF∥BC交AB，AC于E，F(xiàn)．

（1）如圖①，當(dāng)AB=AC時(shí)，圖中有5個(gè)等腰三角形．
（2）如圖②，寫出EF與BE、CF之間關(guān)系式，并說(shuō)明理由．
（3）如圖③，若△ABC中∠B的平分線BO與三角形外角平分線CO交于O，過O點(diǎn)作OE∥BC交AB于E，交AC于F． EF與BE、CF關(guān)系又如何？說(shuō)明你的理由．

Answer 1

分析 （1）由AB=AC，可得∠ABC=∠ACB；又已知OB、OC分別平分∠ABC、∠ACB；故∠EBO=∠OBC=∠FCO=∠OCB；根據(jù)EF∥BC，可得∠OEB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠FCO=∠BCO；由此可得出△ABC，△OBC，△EBO，△CFO，△AEF都是等腰三角形；
（2）由EF∥BC，可得∠2=∠3，又∠1=∠2，根據(jù)等量代換得到∠1=∠3，所以O(shè)E=BE，在△CFO中，同理可證OF=CF，繼而可證得EF=BE+CF；
（3）由于OE∥BC，可得∠5=∠6，又∠4=∠5，根據(jù)等量代換得到∠4=∠6，所以O(shè)E=BE，在△CFO中，同理可證OF=CF，繼而可證得EF=BE-CF．

解答 解：（1）當(dāng)AB=AC時(shí)，圖中有5個(gè)等腰三角形．
如圖1，由AB=AC，可得∠ABC=∠ACB，
又∵OB、OC分別平分∠ABC、∠ACB，
∴∠EBO=∠OBC=∠FCO=∠OCB，
根據(jù)EF∥BC，可得∠OEB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠FCO=∠BCO，
由此可得出△ABC，△OBC，△EBO，△CFO，△AEF都是等腰三角形．
故答案為：5；

（2）關(guān)系式：EF=BE+CF
如圖，∵EF∥BC，
∴∠2=∠3，
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴OE=BE，
在△CFO中，同理可證OF=CF，
∵EF=EO+FO，
∴EF=BE+CF；

（3）關(guān)系式：EF=BE-CF
如圖，∵OE∥BC，
∴∠5=∠6，
又∠4=∠5，
∴∠4=∠6，
∴OE=BE，
在△CFO中，同理可證OF=CF，
∵EF=EO-FO，
∴EF=BE-CF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵靈活運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)．解題時(shí)注意：等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的重要手段．