Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分線，過A、C、D三點(diǎn)的圓O與斜邊AB交于點(diǎn)E，連接DE．
（1）求證：AC=AE；
（2）求線段DE的長；
（3）求△ABC的外接圓的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的外接圓與外心,全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）由圓O的圓周角∠ACB=90°，根據(jù)90°的圓周角所對的弦為圓的直徑得到AD為圓O的直徑，再根據(jù)直徑所對的圓周角為直角可得三角形ADE為直角三角形，又AD是△ABC的角平分線，可得一對角相等，而這對角都為圓O的圓周角，根據(jù)同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弦相等可得CD=ED，利用HL可證明直角三角形ACD與AED全等，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等即可得證；
（2）先根據(jù)勾股定理求出AB的長，再利用AE=AC，CD=DE結(jié)合勾股定理得出DE的長；
（3）根據(jù)直角三角形斜邊的中點(diǎn)即是其外接圓的圓心，即可得出外接圓半徑長，進(jìn)而得出結(jié)論．

解答：（1）證明：∵∠ACB=90°，且∠ACB為圓O的圓周角（已知），
∴AD為圓O的直徑（90°的圓周角所對的弦為圓的直徑），
∴∠AED=90°（直徑所對的圓周角為直角），
又∵AD是△ABC的∠BAC的平分線（已知），
∴∠CAD=∠EAD（角平分線定義），
∴CD=DE（在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弦相等），
在Rt△ACD和Rt△AED中，

CD=ED AD=AD

，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）；

（2）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，
∴AB=

AC2+CB2

=

52+122

=13，
設(shè)DE=x，則BD=12-x，BE=13-5=8，
故x²+8²=（12-x）²，
解得：x=

10

3

，
故DE的長為：

10

3

；

（3）解：由（2）得：△ABC外接圓的半徑=

1

2

AB=

1

2

×13=

13

2

，
故△ABC的外接圓的面積為：π×（

13

2

）²=

169

4

π．

點(diǎn)評：本題考查的是圓周角定理，涉及到勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，能靈活運(yùn)用圓周角定理及勾股定理是解本題的關(guān)鍵．