Question

1．已知如圖，AB是⊙O的直徑，⊙O過BC的中點(diǎn)D，且DE⊥AC于點(diǎn)E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若∠C=30°，CD=10cm，求⊙O的直徑．

Answer 1

分析 （1）連接OD，如圖，先證明OD是中位線得到OD∥AC，由于DE⊥AC，則DE⊥OD，于是根據(jù)切線的判定定理即可得到DE是⊙O的切線；
（2）連接AD，如圖，根據(jù)圓周角定理得到∠ADB=90°，而D是BC的中點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形的判定方法得到△ABC為等腰三角形，則∠B=∠C=30°，然后在Rt△ABD中利用∠B的余弦可計(jì)算出AB的長．

解答 解：（1）連接OD，如圖，
∵O是AB的中點(diǎn)，D是BC的中點(diǎn)，
∴OD是中位線，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切線；
（2）連接AD，如圖，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵D是BC的中點(diǎn)，
∴△ABC為等腰三角形，
∴∠B=∠C=30°，
在Rt△ABD中，∵BD=CD=10，∠B=30°，
∴cosB=cos30°=$\frac{BD}{AB}$，
∴AB=$\frac{10}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{20\sqrt{3}}{3}$ cm，
即⊙O的直徑為$\frac{20\sqrt{3}}{3}$ cm．

點(diǎn)評 本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．也考查了三角形中位線性質(zhì)和等腰三角形的判定與性質(zhì)．