Question

16．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，$A（\sqrt{3}，0），B（{-3\sqrt{3}，0}），C（0，3）$，l是AB的垂直平分線交BC于D，交x軸于F，連接AD交y軸于E，P為l上D點(diǎn)上一點(diǎn)，且DP=DE，將△DCE繞E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，邊CE交線段DC于M，邊DE交線段DF于N，連接PM，若PM=3DN，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-$\sqrt{3}$，$\frac{17-\sqrt{33}}{8}$）．

Answer 1

分析 先證明△DCE、△PDC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，再證明△DEN≌△CEM，得DN=CM，設(shè)DN=CM=a，則PM=3a，在RT△PMG中利用勾股定理列出方程即可解決問(wèn)題．

解答 解：如圖所示，連接PC，作MG⊥PC于G．
∵$A（\sqrt{3}，0），B（{-3\sqrt{3}，0}），C（0，3）$，
∴tan∠CBO=$\frac{CO}{BO}$=$\sqrt{3}$，tan∠CAO=$\frac{CO}{AO}$=$\sqrt{3}$，
∴∠CBO=30°，∠CAO=60°，∠ACB=90°，
∴BC=2CO=6，
∵DF垂直平分AB，
∴BD=DA，∠DBA=∠DAB=30°，
∴BD=DA=4，DF═DP=2，DC=2，∠CDA=∠DAB+∠DAB=60°，
∴△CDE是等邊三角形，
∵DP=DC，∠PDC=60°，
∴△CDP是等邊三角形，
∵∠MEN=∠DEC=60°，
∴∠DEN=∠MEC，
在△DEN和△CEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MCE=∠EDN=60°}\\{DE=DC}\\{∠DEN=∠CEM}\end{array}\right.$，
∴△DEN≌△CEM，
∴DN=CM，設(shè)DN=a，則CM=a，PM=3a，
在RT△CMG中，∵∠MGC=90°，∠MCG=60°，CM=a，
∴CG=$\frac{a}{2}$，GM=$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，PG=2-$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，
在RT△PGM中，∵PM²=PG²+MG²，
∴（3a）²=（2-$\frac{a}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{3}a}{2}$）²，
∴a=$\frac{-1+\sqrt{33}}{8}$或$\frac{-1-\sqrt{33}}{8}$（不合題意舍棄）
∴NF=DF-DN=$\frac{17-\sqrt{33}}{8}$．
∴N（-$\sqrt{3}$，$\frac{17-\sqrt{33}}{8}$），
故答案為N（-$\sqrt{3}$，$\frac{17-\sqrt{33}}{8}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查旋轉(zhuǎn)變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是尋找全等三角形，學(xué)會(huì)利用勾股定理列方程解決問(wèn)題，屬于中考填空題中的壓軸題．