Question

2．如圖1，在一張矩形紙片ABCD上任意畫一條線段GF，將紙片沿線段GF折疊，
（1）重疊部分的△EFG是等腰三角形嗎？請說明理由．
（2）若使點C與點A重合，折疊為GF，如圖2，△AFG的面積記為S₁，圖3中沿BD折疊，△EBD的面積記為S₂，試問S₁和S₂相等嗎？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖1，證明∠EFG=∠AGF，則△EFG是等腰三角形；
（2）如圖2，設(shè)AG=a，利用勾股定理表示出a，如圖3，設(shè)ED=x，利用勾股定理表示出x，由a=x，所以AG=ED，所以S₁和S₂相等．

解答 解：（1）如圖1，△EFG是等腰三角形，理由是：
由折疊得：∠EFG=∠GFC，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AGF=∠GFC，
∴∠EFG=∠AGF，
∴△EFG是等腰三角形，
（2）S₁和S₂相等，理由是：
如圖2，∵△AFG是等腰三角形，
∴AF=AG，
設(shè)AG=a，則AF=FC=a，BF=BC-a，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF²=AB²+BF²，
∴a²=（BC-a）²+AB²，
∴a=$\frac{B{C}^{2}+A{B}^{2}}{2}$，
如圖3，∵△BED是等腰三角形，
∴BE=ED，
設(shè)ED=x，則BE=x，AE=AD-x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE²=AB²+AE²，
x²=AB²+（AD-x）²，
x=$\frac{A{B}^{2}+A{D}^{2}}{2}$，
∵AD=BC，
∴a=x，
即AG=ED，
∵S₁=$\frac{1}{2}$AG•AB，S₂=$\frac{1}{2}$ED•AB，
∴S₁=S₂．

點評 本題考查了等腰三角形的判定和翻折的性質(zhì)，翻疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等；還要熟知等角對等邊，對于兩個三角形面積的判定，可以計算得出，也可以利用等底等高、等底同高、同底等高的兩個三角形面積相等．