Question

2．如圖，已知y=kx和雙曲線y=$\frac{m}{x}$（m＞0），點A（a，b）（a＞0）在雙曲線y=$\frac{m}{x}$上
（1）當a=b=2時，①直接寫出m值4
②若k=-2，將直線y=kx平移至雙曲線y=$\frac{m}{x}$只有一個交點，求平移后的直線解析式
（2）將直線y=kx繞怨念O旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)后直線與雙曲線y=$\frac{m}{x}$交于B、C兩點（點B在第一象限）直線AB、AC分別與x軸交于D、E兩點，寫出$\frac{AB}{AD}$與$\frac{AC}{AE}$之間的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）①把A（2，2）代入y=$\frac{m}{x}$即可得到結(jié)論；②設(shè)平移后的直線為y=-2x+b，解方程組即可得到結(jié)論；
（2）當點A在直線BC的上方，過A，B，C分別作y軸的垂線，垂足為F，G，H，則OF=b，OG=OH=n，F(xiàn)G=OF-OG=b-n，F(xiàn)H=OF+OH=b+n根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）①把A（2，2）代入y=$\frac{m}{x}$得，m=4，
故答案為：4；
②設(shè)平移后的直線為y=-2x+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+b}\\{y=\frac{4}{x}}\end{array}\right.$，
∴2x²-bx+4=0，
∵△=（-b）²-4×2×4=0，
∴b=4$\sqrt{2}$，
方程有兩個相等的實數(shù)根，此時直線y=-2x+b曲線y=$\frac{m}{x}$只有一個交點，
∴平移后的直線為y=-2x+4$\sqrt{2}$；

（2）當點A在直線BC的上方，過A，B，C分別作y軸的垂線，垂足為F，G，H，
則OF=b，OG=OH=n，F(xiàn)G=OF-OG=b-n，F(xiàn)H=OF+OH=b+n，
∵AF∥x軸∥CH，
∴$\frac{AC}{AE}=\frac{FH}{FO}$=$\frac{b+n}$，
∴$\frac{AC}{AE}+\frac{AB}{AD}$=$\frac{b+n}$+$\frac{b-n}$=2；
當A在BC的下方時，同理可求$\frac{AB}{AD}$=$\frac{n-b}$，$\frac{AC}{AE}$=$\frac{n+b}$，
∴$\frac{AC}{AE}$-$\frac{AB}{AD}$=2，
綜上所述，$\frac{AC}{AE}$±$\frac{AB}{AD}$=2．

點評 本題考查了坐標與圖形變換-旋轉(zhuǎn)，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，平行線分線段成比例定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．