Question

13．如圖，已知正方形ABCD的中心為O，用紙片剪下一個大小與正方形ABCD相等的正方形EFGH，然后把正方形EFGH的頂點H固定在點O，讓正方形EFGH繞點O旋轉(zhuǎn)，正方形ABCD與紙片重合的部分隨著紙片旋轉(zhuǎn)的位置不同，而形狀也會有所改變，它們有什么相同的地方嗎？請你探究問題的結論
（1）旋轉(zhuǎn)過程中，OD落在邊HG上，那么OC應落在邊HE上，重合的部分是△DOC，它的面積是正方形ABCD的面積是$\frac{1}{4}$；
（2）旋轉(zhuǎn)過程中邊HG⊥CD時，紙片與正方形ABCD重合部分是一個正方形；
（3）由以上兩種旋轉(zhuǎn)過程中特殊位置可以推測，紙片與正方形ABCD重合部分的形狀會發(fā)生變化，面積會改變嗎？請你總結探索的結論，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)正方形的性質(zhì)可得∠DOC=∠GOE=90°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知旋轉(zhuǎn)過程中，OD落在邊HG上時，OC應落在邊OE上，重合的部分是△DOC，它的面積是正方形ABCD的面積的$\frac{1}{4}$；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知旋轉(zhuǎn)過程中邊HG⊥CD時，HE⊥BC，易證紙片與正方形ABCD重合部分是一個正方形；
（3）由以上兩種旋轉(zhuǎn)過程中特殊位置可以推測，紙片與正方形ABCD重合部分的形狀會發(fā)生變化，面積不會改變，是正方形ABCD的面積的$\frac{1}{4}$．理由是：由四邊形ABCD，EFGH都是正方形，得到OC=OD，∠OCP=∠ODQ=45°，∠COD=∠POQ=90°，得到∠COP=∠DOQ，則△COP≌△DOQ，即可得到S_重合部分=S_△COD=$\frac{1}{4}$S_{正方形ABCD}．

解答 解：（1）如圖1，旋轉(zhuǎn)過程中，OD落在邊HG上，那么OC應落在邊HE上，重合的部分是△DOC，它的面積是正方形ABCD的面積的$\frac{1}{4}$；


（2）如圖2，旋轉(zhuǎn)過程中邊HG⊥CD時，紙片與正方形ABCD重合部分是一個正方形；

（3）如圖3，∵四邊形ABCD，EFGH都是正方形，
∴OC=OD，∠OCP=∠ODQ=45°，∠COD=∠POQ=90°，
∴∠COP=∠DOQ=90°-∠COQ．
在△COP與△DOQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠COP=∠DOQ}\\{OC=OD}\\{∠OCP=∠ODQ}\end{array}\right.$，
∴△COP≌△DOQ，
∴S_重合部分=S_{四邊形OPCQ}=S_△COP+S_△COQ=S_△DOQ+S_△COQ=S_△COD=$\frac{1}{4}$S_{正方形ABCD}．
故答案為△DOC，$\frac{1}{4}$；正方形．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形全等，對應點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．也考查了正方形的性質(zhì)以及三角形全等的判定與性質(zhì)．