Question

7．對(duì)某一個(gè)函數(shù)給出如下定義：若存在實(shí)數(shù)M＞0，對(duì)于任意的函數(shù)值y，都滿足-M≤y≤M，則稱這個(gè)函數(shù)是有界函數(shù)，在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個(gè)函數(shù)的邊界值．例如，如圖中的函數(shù)是有界函數(shù)，其邊界值是1．
（1）分別判斷函數(shù)y=$\frac{1}{x}$（x＞0）和y=x+1（-4＜x≤2）是不是有界函數(shù)？若是有界函數(shù)，求其邊界值；
（2）若函數(shù)y=-x+1（a≤x≤b，b＞a）的邊界值是2，且這個(gè)函數(shù)的最大值也是2，求b的取值范圍；
（3）將函數(shù)y=x²（-1≤x≤m，m≥0）的圖象向下平移m個(gè)單位，得到的函數(shù)的邊界值是t，當(dāng)m在什么范圍時(shí)，滿足$\frac{3}{4}$≤t≤1？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)有界函數(shù)的定義即可得出函數(shù)y=$\frac{1}{x}$ （x＞0）不是有界函數(shù)、函數(shù)y=x+1（-4≤x≤2）是有界函數(shù)，再代入x=-4和x=2即可得出其邊界值；
（2）根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可得出函數(shù)y=-x+1是單減函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的最大值為2即可得出a的值，再代入b的值結(jié)合有界函數(shù)的定義以及該函數(shù)的邊界值即可得出關(guān)于b的一元一次不等式組，解不等式組即可得出b的取值范圍；
（3）當(dāng)m＞1時(shí)，代入x=0即可得出y=-m，由$\frac{3}{4}$≤t≤1可得出此種情況不存在，從而得出m≤1，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征找出原函數(shù)橫坐標(biāo)為-1和0時(shí)，y的值，根據(jù)平移的性質(zhì)即可得出平移后的函數(shù)的最值，根據(jù)有界函數(shù)的定義以及其邊界值$\frac{3}{4}$≤t≤1，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式組，解不等式組即可得出m的取值范圍，此題得解．

解答 解：（1）根據(jù)有界函數(shù)的定義知，函數(shù)y=$\frac{1}{x}$ （x＞0）不是有界函數(shù)；
函數(shù)y=x+1（-4≤x≤2）是有界函數(shù)．
∵-4+1=-3，2+1=3，
∴y=x+1（-4＜x≤2）邊界值為3．
（2）∵k=-1＜0，
∴函數(shù)y=-x+1的圖象是y隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x=a時(shí)，y=-a+1=2，
解得：a=-1；
當(dāng)x=b時(shí)，y=-b+1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2≤-b+1≤2}\\{b＞a}\\{a=-1}\end{array}\right.$，
∴-1＜b≤3；
（3）若m＞1，函數(shù)向下平移m個(gè)單位后，x=0時(shí)，函數(shù)值小于-1，
此時(shí)函數(shù)的邊界t≥1，與題意不符，故m≤1．
當(dāng)x=-1時(shí)，y=1，函數(shù)y=x²過(guò)點(diǎn)（-1，1）；
當(dāng)x=0時(shí)，y_最小=0，函數(shù)y=x²過(guò)點(diǎn)（0，0）．
都向下平移m個(gè)單位，則函數(shù)y=x²-m過(guò)點(diǎn)（-1，1-m）、（0，-m），
∵$\frac{3}{4}$≤t≤1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{4}≤1-m≤1}\\{m≤1-m}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-1≤-m≤-\frac{3}{4}}\\{1-m≤m}\end{array}\right.$，
解得：0≤m≤$\frac{1}{4}$ 或 $\frac{3}{4}$≤m≤1．
故當(dāng)0≤m≤$\frac{1}{4}$ 或 $\frac{3}{4}$≤m≤1時(shí)，滿足$\frac{3}{4}$≤t≤1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)、有界函數(shù)的定義以及解一元一次不等式組，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)有界函數(shù)的定義判斷一個(gè)函數(shù)是否為有界函數(shù)；（2）找出關(guān)于b的一元一次不等式組；（3）找出關(guān)于m的一元一次不等式組．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)有界函數(shù)的定義結(jié)合邊界值找出不等式組是關(guān)鍵．