Question

如圖，在直角標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為（-1，0）、（0，b），且0＜b＜3，直線l是過(guò)點(diǎn)B、C的直線，當(dāng)點(diǎn)C在線段OC上移動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥l交l于點(diǎn)D．
（1）求點(diǎn)D、O之間的距離；
（2）如果S_△BDA：S_△BOC=a，試求a與b的函數(shù)關(guān)系式及a的取值范圍；
（3）當(dāng)∠ADO的正切值為

1

2

時(shí)，求直線l的解析式，并求此時(shí)△ABD與△BOC重疊部分的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）首先求得直線l和直線AD的解析式，解兩個(gè)解析式組成的方程組求得D的左邊，則OD的長(zhǎng)度即可求得；
（2）首先證明△BDA∽△BOC，根據(jù)相似三角形的面積的比等于相似的比的平方即可得到a和b的函數(shù)關(guān)系；
（3）∠ADO的正切值為

1

2

時(shí)，據(jù)此即可求得AD的解析式中一次項(xiàng)系數(shù)的值，求得直線l的解析式，求得△AOE的面積，然后根據(jù)△AEO∽△ABD．求得△ABD的面積，則△ABD與△BOC重疊部分的面積即可求解．

解答：解：（1）設(shè)直線l的解析式是y=kx+b，
則-k+b=0，解得：k=b，
則直線l的解析式是：y=bx+b，
∵AD⊥l，
則直線AD的解析式中一次項(xiàng)系數(shù)是：-

1

b

，
設(shè)直線AD的解析式是：y=-

1

b

x+c，把（1，0）代入解析式得：-

1

b

+c=0，則c=

1

b

，
則直線AD的解析式是：y=-

1

b

x+

1

b

，
根據(jù)題意得：

y=bx+b y=- 1 b + 1 b

，
解得：

x= 1-b2 b2+1 y= 2b b2+1

，
即D的坐標(biāo)是：（

1-b2

b2+1

，

2b

b2+1

），
則OD=

( 1-b2 b2+1 )2+( 2b b2+1 )2

=1；

（2）∵∠ADB=∠BOC，∠CBO=∠ABD，
∴△BDA∽△BOC，
∴

S△BDA

S△BOC

=（

AB

BC

）²=（

2

1+b2

）²=

4

1+b2

=a，
則a=

4

1+b2

，
∵0＜b＜3，
∴

2

5

＜a＜4；

（3）當(dāng)∠ADO的正切值為

1

2

時(shí)，直線l的解析式是：y=bx+b中b=2，則函數(shù)解析式是：y=2x+2．
則C的坐標(biāo)是（0，2）．
直線AD的解析式是：y=-

1

2

x+

1

2

，則E的坐標(biāo)是（0，

1

2

），
則S_△AOE=

1

2

OA•OE=

1

2

×1×

1

2

=

1

4

，
AE=

( 1 2 )2+12

=

5

2

，
∵△AEO∽△ABD，
∴

S△AEO

S△ABD

=（

AE

AB

）2=

5 4

4

=

5

16

，
∴S_△ABD=

16

5

×

1

4

=

4

5

，
則△ABD與△BOC重疊部分的面積是：

4

5

-

1

4

=

11

20

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)是關(guān)鍵．