Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx過A(4，0)，B(1，-3)兩點(diǎn)，點(diǎn)C、B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，過點(diǎn)B作直線BH⊥x軸，交x軸于點(diǎn)H．

（1)求拋物線的表達(dá)式；

（2)點(diǎn)P是拋物線上一動點(diǎn)，當(dāng)ΔABP的面積為3時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3)若點(diǎn)M在直線BH上運(yùn)動，點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動，點(diǎn)R是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)C、M、N、R為頂點(diǎn)的四邊形為正方形時(shí)，請直接寫出此時(shí)點(diǎn)R的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=x2－4x．（2）P點(diǎn)坐標(biāo)為（，），（，），（2，-4），（3，-3）．（3）R點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-1）、（-2，-5）、（6，2）、（0，-2）．

【解析】

（1）把A、B兩點(diǎn)代入解析式即可求得

（2）設(shè)直線的解析式，代入點(diǎn)可得到y=x-4，通過點(diǎn)P作y軸的平行線，則可利用已知三角形的面積求解

（3）分類討論：①當(dāng)M為直角頂點(diǎn)時(shí)，M在x軸下方時(shí)；②當(dāng)M為直角頂點(diǎn)時(shí)，M在x軸上方時(shí)；③當(dāng)N為直角頂點(diǎn)時(shí)，且N在x軸負(fù)半軸時(shí)；④當(dāng)N為直角頂點(diǎn)時(shí)，且N在x軸正半軸時(shí)；⑤當(dāng)C為直角頂點(diǎn)時(shí)，此種情況不存在

（1）∵拋物線y=ax2+bx過A(4，0)，B(1，-3)兩點(diǎn)，

∴，解得：，

即拋物線的解析式為：y=x2－4x．

（2）設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+c，

將A(4，0)，B(1，-3)兩點(diǎn)代入得：

∴，解得：，

即直線AB的解析式為y=x-4，

過點(diǎn)P作PE∥y軸交直線AB于E，

則S△ABP=PE×（4-1）=PE，

∵S△ABP=3，

∴PE=3，即PE=2，

設(shè)P（m，m2-4m），則H（m，m-4），

∴m2-4m-（m-4）=2或m-4-（m2-4m）=2，

解得：m= 或m= 或m=2或m=3，

所以P點(diǎn)坐標(biāo)為（，），（，），（2，-4），（3，-3）．

（3）當(dāng)△CMN為等腰直角三角形時(shí)，可找到點(diǎn)R，使得以點(diǎn)C、M、N、R為頂點(diǎn)的四邊形為正方形．

①當(dāng)M為直角頂點(diǎn)時(shí)，M在x軸下方時(shí)，

易證△MNH≌△CMB，

由C（3，-3）得：BC=HM=2，

∴BM=NH=1，即N（2，0），M（1，-2）

此時(shí)R（4，-1）；

②當(dāng)M為直角頂點(diǎn)時(shí)，M在x軸上方時(shí)，

同理可得：BC=HM=2，BM=NH=5，即M(1，2)，N（-4，0），C（3，-3）

此時(shí)R（-2，-5）；

③當(dāng)N為直角頂點(diǎn)時(shí)，且N在x軸負(fù)半軸時(shí)，

同理得：NH=NQ=3，QC=HM=5，即N（-2，0）M（1，5）C（3，-3）

此時(shí)R（6，2）；

④當(dāng)N為直角頂點(diǎn)時(shí)，且N在x軸正半軸時(shí)，

同理得：NH=CQ=3，QN=HM=1，即N（4，0）M（1，1）C（3，-3）

此時(shí)R（0，-2）；

⑤當(dāng)C為直角頂點(diǎn)時(shí)，此種情況不存在

綜上所述，R點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-1）、（-2，-5）、（6，2）、（0，-2）．