Question

7．如圖，AC是矩形ABCD的對角線，AB=2，BC=2$\sqrt{3}$，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段AB，AD上的點(diǎn)，連接CE，CF．當(dāng)∠BCE=∠ACF，且CE=CF時，AE+AF=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 過點(diǎn)F作FG⊥AC于點(diǎn)G，證明△BCE≌△GCF，得到CG=CB=2$\sqrt{3}$，根據(jù)勾股定理得AC=4，所以AG=4-2$\sqrt{3}$，易證△AGF∽△CBA，求出AF、FG，再求出AE，得出AE+AF的值．

解答 解：過點(diǎn)F作FG⊥AC于點(diǎn)G，如圖所示，
在△BCE和△GCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FGC=∠EBC=90°}\\{∠ACF=∠BCE}\\{CE=CF}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△GCF（AAS），
∴CG=BC=2$\sqrt{3}$，
∵AC=$\sqrt{A{B}^{2+}B{C}^{2}}$=4，
∴AG=4-2$\sqrt{3}$，
∵△AGF∽△CBA
∴$\frac{AG}{CB}=\frac{AF}{CA}=\frac{GF}{AB}$，
∴AF=$\frac{4（4-2\sqrt{3}）}{2\sqrt{3}}$=$\frac{8\sqrt{3}-12}{3}$，
FG=$\frac{2（4-2\sqrt{3}）}{2\sqrt{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}-6}{3}$，
∴AE=2-$\frac{4\sqrt{3}-6}{3}$=$\frac{12-4\sqrt{3}}{3}$，
∴AE+AF=$\frac{12-4\sqrt{3}}{3}$+$\frac{8\sqrt{3}-12}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)以及三角形相似的判定與性質(zhì)，有一定的綜合性，難易適中．